Demostrar que $C^{0}$ y $\mathbb{R}$ tienen igual cardinalidad

Question

Cómo demostrar que $C^{0}$ y $\mathbb{R}$ tienen igual cardinalidad ?

$C^{0}$ denota el conjunto de todas las funciones continuas $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$

Answer 1

Pista: Una función continua $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ está completamente determinada por sus valores en los números racionales $\mathbb{Q}$ (en realidad en cualquier conjunto denso de $\mathbb{R}$ ). la cardinalidad del rango de una función de $\mathbb{Q}$ es como máximo contable.

Answer 2

Pista: Para demostrar que $\mathbb{R} \subset C^0$ considera $f \in C^0$ Toma $f(0)$ .

Por el contrario,

Pista: $f\in C^0$ se determina unívocamente por sus valores en un subconjunto denso de puntos.

Pista: $|\mathbb{R^N}| = |\mathbb{R}|$ .