Transformada de Laplace de $\cos(2t-(\frac\pi3))$

Question

Problema

Necesito encontrar la transformada de Laplace de $\cos(2t-(\frac\pi3))$

Inténtelo

He intentado buscar algunas fórmulas relevantes en mi libro, pero no encuentro nada que parezca útil. Sospecho que hay algo que yo no veo.

Wolfram Alpha sugiere que la respuesta es $\displaystyle\frac{s+2\sqrt3}{2s^2+8}$ pero tampoco puedo hacer ingeniería inversa.

Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Caso 1: $f(t)=\cos\left(2t-\frac{\pi}{3}\right) u\left(t\right)$

Observando que $\cos(\omega t -\phi)=\cos(\omega t)\cos\phi+\sin(\omega t)\sin\phi$ y que $\mathcal L\left\{\cos(\omega t)\right\}=\frac{s}{s^2+\omega^2}$ y $\mathcal L\left\{\sin(\omega t)\right\}=\frac{\omega}{s^2+\omega^2}$ tenemos \begin{align} \mathcal L\left\{\cos(\omega t -\phi)\right\}&=\mathcal L\left\{\cos(\omega t)\right\}\cos\phi+\mathcal L\left\{\sin(\omega t)\right\}\sin\phi\\ &=\frac{s}{s^2+\omega^2}\cos\phi+\frac{\omega}{s^2+\omega^2}\sin\phi\\ &=\frac{s\cos\phi+\omega\sin\phi}{s^2+\omega^2} \end{align} Para $\omega=2$ y $\phi=\frac{\pi}{3}$ , $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac 1 2 $ y $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt 3}{2}$ tenemos $$ \mathcal L\left\{\cos\left(2t-\frac{\pi}{3}\right)u\left(t\right)\right\}= \frac{\frac{s}{2}+\sqrt{3}}{s^2+4}=\frac{s+2\sqrt{3}}{2s^2+8} $$

Caso 2: $f(t)=\cos\left(2t-\frac{\pi}{3}\right) u\left(2t-\frac{\pi}{3}\right)$

Utilizar la propiedad Desplazamiento temporal $$ \mathcal L\left\{f(t - a) \right\}=\mathrm e^{-as} F(s) $$ y que para $f(t)=\cos(at)$ $$ \mathcal L\left\{\cos(\omega t)\right\}=F(s)=\frac{s}{s^2+\omega^2} $$ Así que $$\mathcal L\left\{\cos(\omega(t-a))\right\}=\mathrm e^{-as}\frac{s}{s^2+\omega^2} $$ y para $\omega=2$ y $a=\frac{\pi}{6}$ tenemos $$ \mathcal L\left\{\cos\left(2t-\frac{\pi}{3}\right)u\left(t-\frac{\pi}{6}\right)\right\}=\mathrm e^{-\frac{\pi}{6}s}\frac{s}{s^2+4} $$

Answer 2

Puedes utilizar las propiedades básicas de la transformada de Laplace, o simplemente la fuerza bruta como yo estoy dispuesto a hacer.

$$\int_{0}^{+\infty}\cos\left(2t-\frac{\pi}{3}\right)e^{-st}\,dt = \text{Re}\int_{0}^{+\infty}\exp\left((2i-s)t-\frac{\pi i}{3}\right)\,dt=\text{Re}\left(\frac{\omega}{2i-s}\right).$$