Prueba $1+2+3+...+n<=n^2$ para todo n∈N

Question

Prueba $1+2+3+...+n<=n^2$ para todo nN

Esto es lo que tengo hasta ahora. No estoy seguro de qué hacer ahora.

Answer 1

Pista:

Utiliza la hipótesis inductiva para demostrar que basta con demostrar $$n^2+n+1<(n+1)^2.$$

Answer 2

Un posible obstáculo es que su "en otras palabras" no está completo. ¿Qué " $P(k)$ implica $P(k+1)$ "lo que realmente dice es que si

$$1+2+\cdots+k \leq k^2$$

entonces

$$1+2+\cdots+k+(k+1) \leq (k+1)^2$$

En otras palabras (!), utilizas la premisa de que $1+2+\cdots+k \leq k^2$ como punto de partida. Si añade $k+1$ a ambos lados, se obtiene

$$1+2+\cdots+k+(k+1) \leq k^2+(k+1)$$

¿Puedes terminar el razonamiento?

Answer 3

Fórmula de la suma de Gauss : $$1+2+\dots +n=\frac {n(n+1)}2$$ Para $n\ge1$ tenemos $\frac{n (n+1)}2\le\frac {n (n+n)}2=n^2$ ...

Así tenemos una prueba sin inducción, por si te interesa. ..