Una configuración básica en la geometría enumerativa moderna es que tienes algún objeto $X$ (digamos, una pila "bonita", para cualquier definición de "bonita" que necesites) y luego quieres "contar" la curva de género $g$ intersecando un grupo de clases de cohomología y de grado $\beta$ Así que mira $\bar{\mathcal{M}}_{g,n}(X,\beta)$ y luego retroceder las clases, intersecar y obtener un invariante de Gromov-Witten. Famosamente, esto da la fórmula de Kontsevich contando curvas racionales en el plano proyectivo que pasan por $3d-1$ puntos. Y aunque las GW-invariantes pueden ser negativas y racionales, hay casos agradables en los que cuentan algo legítimo, como el género $0$ , $n\geq 3$ en un espacio homogéneo.
Así que, basta de antecedentes, aquí está mi pregunta (y esto es en gran parte curiosidad ociosa, por lo que ninguna motivación específica): ¿podemos hacer esto en dimensiones más altas? Por ejemplo, dada una variedad (¿lisa?) $V$ y marcando un montón de subvariedades $W_1,\ldots,W_n$ (¿quizás restringiéndolos a puntos?) podemos formar $\bar{\mathcal{M}}_{V,(W_1,\ldots,W_n)}(X,\beta)$ un espacio de moduli de mapeos estables de variedades de deformación equivalente a aquella con la que empezamos en nuestro espacio, representado por una clase de cohomología dada $\beta$ y con $W_1,\ldots,W_n$ intersecando algunas clases de cohomología, de modo que podamos obtener algo que pueda llamarse invariantes de Gromov-Witten de dimensión superior? Si esto se ha estudiado, ¿bajo qué condiciones cuenta realmente subvariedades? Por ejemplo, si $X$ es $\mathbb{P}^N$ y $V=\mathbb{P}^2$ y si nos limitamos a necesitar mapas racionales, ¿podríamos usar algo así para contar las superficies racionales que satisfacen algunas condiciones de incidencia?
