Teorías de Gromov-Witten de dimensiones superiores

Question

Una configuración básica en la geometría enumerativa moderna es que tienes algún objeto $X$ (digamos, una pila "bonita", para cualquier definición de "bonita" que necesites) y luego quieres "contar" la curva de género $g$ intersecando un grupo de clases de cohomología y de grado $\beta$ Así que mira $\bar{\mathcal{M}}_{g,n}(X,\beta)$ y luego retroceder las clases, intersecar y obtener un invariante de Gromov-Witten. Famosamente, esto da la fórmula de Kontsevich contando curvas racionales en el plano proyectivo que pasan por $3d-1$ puntos. Y aunque las GW-invariantes pueden ser negativas y racionales, hay casos agradables en los que cuentan algo legítimo, como el género $0$ , $n\geq 3$ en un espacio homogéneo.

Así que, basta de antecedentes, aquí está mi pregunta (y esto es en gran parte curiosidad ociosa, por lo que ninguna motivación específica): ¿podemos hacer esto en dimensiones más altas? Por ejemplo, dada una variedad (¿lisa?) $V$ y marcando un montón de subvariedades $W_1,\ldots,W_n$ (¿quizás restringiéndolos a puntos?) podemos formar $\bar{\mathcal{M}}_{V,(W_1,\ldots,W_n)}(X,\beta)$ un espacio de moduli de mapeos estables de variedades de deformación equivalente a aquella con la que empezamos en nuestro espacio, representado por una clase de cohomología dada $\beta$ y con $W_1,\ldots,W_n$ intersecando algunas clases de cohomología, de modo que podamos obtener algo que pueda llamarse invariantes de Gromov-Witten de dimensión superior? Si esto se ha estudiado, ¿bajo qué condiciones cuenta realmente subvariedades? Por ejemplo, si $X$ es $\mathbb{P}^N$ y $V=\mathbb{P}^2$ y si nos limitamos a necesitar mapas racionales, ¿podríamos usar algo así para contar las superficies racionales que satisfacen algunas condiciones de incidencia?

Answer 1

Sé que estás pensando firmemente en el mundo integrable, pero pensé que merecía la pena añadir que, para las variedades simplécticas, no existe una generalización obvia de la teoría de Gromov-Witten a subvariedades de dimensión superior. Esto se debe a que para definir "holomorfo" se utiliza una estructura casi compleja no integrable y la no integrabilidad significa que no hay objetos holomorfos de dimensión superior. El hecho de que existan curvas holomorfas puede considerarse como un ejemplo del hecho de que todas las estructuras casi complejas sobre 2-manifolds son automáticamente integrables. (Por ejemplo, como no hay formas (2,0), el espacio donde debería vivir el tensor de Nijenhuis es cero).

Answer 2

Parece prácticamente imposible que se pueda construir con las técnicas actuales una clase fundamental virtual para un espacio de moduli de mapas de superficies a una variedad. En el caso de las curvas, las deformaciones de un mapa están controladas por $H^0(C, f^* T_X)$ y obstrucciones por $H^1(C, f^* T_X)$ . Estos dos espacios varían agradablemente sobre el espacio de moduli, en el sentido de que hay un complejo de dos términos sobre el espacio de moduli cuya fibra en el punto [C, f] tiene estas cohomologías. (Se obtiene haciendo retroceder el haz tangente a la curva universal, y luego tomando su derivada hacia adelante a lo largo de la proyección al espacio de moduli). Si se hace lo mismo con las superficies, se obtiene un complejo de 3 términos. En ese caso, Behrend-Fantechi ya no te ayuda a construir una clase fundamental virtual.

Answer 3

Espacio de moduli de Alexeev y Knutson de variedades de rama en

• Espacios de moduli completos de variedades de rama Revista de Matemáticas Puras y Aplicadas (Revista Crelles). Volumen 2010, número 639, páginas 39-71, doi: 10.1515/crelle.2010.010 , arXiv: math/0602626

es algo así como una versión de mayor dimensión del espacio de moduli de los mapas estables. (Aunque hay que advertir que el espacio de moduli de los mapas estables no es un caso especial del espacio de moduli de las variedades de rama. En el espacio de moduli de las variedades rama, nunca hay mapas con fibras de dimensión positiva).

No conozco a nadie que haya hecho un trabajo enumerativo serio en este sentido. Estoy deseando leer las demás respuestas.

Answer 4

El espacio de moduli de mapas estables a un punto es el espacio de moduli de curvas de Deligne-Mumford. La teoría de moduli de las variedades de dimensiones superiores es extremadamente complicada: aunque se ha hecho mucho, incluso para las superficies hay muchas condiciones de estabilidad posibles. Así que incluso la "teoría de Gromov-Witten superior de un punto" sería muy difícil de definir.

Answer 5

Se ha construido el espacio de moduli: https://arxiv.org/abs/alg-geom/9410003

Sin embargo, no creo que nadie haya demostrado nada más que eso. En particular, no sé si se conoce la existencia de una clase fundamental virtual para ello.