Suma de factores de números que son < 1

Question

Sea $a, b \in (0,1)$ . Dado un número entero $N$ ¿Cómo puedo calcular la siguiente suma? $$ \sum_{i=1}^N{\sum_{j=0}^i}a^j\cdot b^{i-j} $$

He probado diferentes trucos hasta ahora, pero ninguno parecía solucionarlo.

Si simplifica las cosas, es posible considerar sólo el límite: $$ \lim_{N\rightarrow \infty} \sum_{i=1}^N{\sum_{j=0}^i}a^j\cdot b^{i-j} $$

Gracias.

Answer 1

Escriba a $x = \frac ab$ . Tenemos $$ \begin{align*} \sum_{i=1}^N{\sum_{j=0}^i}a^j\cdot b^{i-j} &= \sum_{i=1}^Nb^i{\sum_{j=0}^i}x^j\\ &= \sum_{i=1}^Nb^i \frac{x^{i+1} - 1}{x - 1}\\ &= \frac1{x-1}\left(x\sum_{i=1}^N b^ix^i - \sum_{i=1}^Nb^i\right), \end{align*} $$ y ahora se trata de evaluar series geométricas, una con razón $bx = a$ y uno con relación $b$ .

Answer 2

Encontrar una fórmula cercana $f(i)$ para $$\sum_{j=0}^{i}a^j\cdot b^{i-j}=a^0\cdot b^i+a^1\cdot b^{i-1}+a^2\cdot b^{i-2}+...+a^i\cdot b^0$$ Nótese que se trata de una serie geométrica.
A continuación, intente hacer lo mismo con $$\sum_{j=1}^Nf(i)$$