Cómo dibujar curvas de nivel de la forma $f(x,y)= |x|+|y|$ ?

Question

Me cuesta esbozar las curvas de nivel de la ecuación $f(x,y)= |x|+|y|$ Sé que para encontrar las curvas de nivel hay que poner $f(x,y) = C$ (siendo c una constante). Pero entonces tengo la ecuación $|x|+|y|=C$ .

Digamos $C=0$ entonces $|x|+|y|=0$ pero ¿cómo puedo dibujar esto? Porque tanto x como y son mayores que cero, y tienen que sumar 0, por lo tanto x e y tienen que ser cero, pero entonces no puedo dibujar nada.

Digamos $C=1$ entonces $|x|+|y|=1$ pero ¿cómo puedo esbozar esto? ¿Puedo decir que $x + y= \pm1$ por lo tanto $y=1-x$ y $y = 1+x$ (pero $x$ no puede ser negativo, así que no sé cómo hacer este problema).

Si usted sabe la respuesta, sería muy apreciada para ayudarme

Gracias de antemano.

Answer 1

Si $|x|+|y|=1$ considera cuatro posibilidades:

• $x,y\geqslant0$ entonces sólo tienes $x+y=1$ ;
• $y\leqslant0\leqslant x$ entonces sólo tienes $x-y=1$ ;
• $x,y\leqslant0$ entonces sólo tienes $-x-y=1$ ;
• $x\leqslant0\leqslant y$ entonces sólo tienes $-x+y=1$ .

Así, su curva es un cuadrado, expresado como la unión de $4$ segmentos de línea. Para ser más precisos: es el cuadrado cuyos vértices son $(\pm1,0)$ y $(0,\pm1)$ .

Answer 2

El gráfico se divide en 4 cuadrantes.

Sabemos que $|x| = x$ si $x \ge 0$ y $|x| = -x$ si $x < 0$

Tome 4 casos

Caso 1: $x \ge 0, y \ge 0$ (1er cuadrante)
$x+y = c$ . Se trata de una línea recta trazable. Traza esta recta sólo en el primer cuadrante

Caso 2: $x \le 0,y \ge 0$ (2º cuadrante)
$-x+y = c$ . Se trata de una recta ploteable. Traza esta recta sólo en el segundo cuadrante

Del mismo modo, haga lo mismo para el 3er $(x \le 0,y \le 0)$ y la 4ª $(x \ge 0,y \le 0)$ cuadrante.

Espero que lo tengas

Answer 3

Sólo añado un comentario a las soluciones ya propuestas. Desde $f(x,y) = f(-x, y) = f(x, -y) = f(-x, -y)$ los conjuntos de niveles de $f$ son simétricas respecto a las reflexiones sobre los ejes $(x,y) \mapsto (-x,y)$ y $(x,y) \mapsto (x,-y)$ , y con respecto a la simetría en torno al origen $(x,y) \mapsto (-x, -y)$ .

Dado esto, basta con dibujar el conjunto de niveles por ejemplo en el cuadrante $x\geq 0$ , $y\geq 0$ y entonces se obtiene la imagen completa usando las simetrías anteriores.