Como sugirió Poonen en un comentario a una respuesta de su pregunta sobre la biracionalidad de cualquier curva con una curva plana afín suave nos hacemos las siguientes preguntas:
P) ¿Es cierto que toda curva afín suave es isomorfa a una curva plana afín suave?
(a) En particular, dada una curva plana afín suave $X$ con un conjunto abierto arbitrario de Zariski $U$ en ella, ¿se puede dar una incrustación cerrada de $U$ en el avión otra vez?
(b) Un caso especial muy interesante de (Q): Supongamos que $X$ es una curva algebraica plana singular con $X_{sm}$ el locus liso. ¿Se puede dar una incrustación cerrada de $X_{sm}$ ¿en el avión?
Todas las variedades en cuestión tienen más de $\mathbb{C}$ .
ACTUALIZACIÓN :
Bloch, Murthy y Szpiro ya han demostrado en su artículo "Ciclos cero y el número de generadores de un ideal" un resultado mucho más general (véase el Teorema 5.7, op.cit), que toda variedad pryectiva reducida e irreducible tiene un conjunto abierto afín que es una hipersuperficie. Esto resuelve la cuestión anterior, en particular, biracionalmente.
Los autores dan una prueba alternativa muy breve y bonita de su resultado de M.V. Nori que incluyo aquí por su brevedad y para quien no tenga acceso al artículo:
Prueba : Supongamos que $X$ es una variedad proyectiva integral de dimensión $d$ . Mediante una proyección genérica, se reduce fácilmente al caso de una hipersuperficie integral (posiblemente singular) $X$ de $\mathbb{A}^{d+1}$ . Supongamos que el anillo de coordenadas de $X$ es $A=\mathbb{C}[x_1,\dots,x_{d+1}]$ y su ecuación definitoria es $F=\Sigma_0^m{f_i}x_{d+1}^{i}=0$ con $f_0\neq{0}$ . Para algún elemento $h$ en $J\cap\mathbb{C}[x_1,\dots,x_d]$ donde $J$ define el lugar singular de $X$ , poner $x_{d+1}'=x_{d+1}/(hf_0^2)$ en $F=0$ observar que $1/(hf_0)\in\mathbb{C}[x_1,\dots,x_{d+1}']$ y $A_{hf_0}=\mathbb{C}[x_1,\dots,x_{d+1}']$ . Claramente $\rm{Spec}\ {A_{hf_0}}$ admite una inmersión cerrada en $\mathbb{A}^{d+1}$ .
Sin embargo, los autores anteriores también demuestran en su Teorema 5.8 que existen variedades afines de cualquier dimensión que no son hipersuperficies. Esto responde negativamente a nuestra pregunta. Esto también lo sabía Sathaye para curvas, véase En curvas planas . Da un bonito ejemplo de una doble cubierta de una curva elíptica punteada, ramificada en 9 puntos y también en el punto en el infinito. Esta curva no puede incrustarse en $\mathbb{A}^2$ . Sathaye utiliza el semigrupo de valores en el único punto en el infinito para demostrarlo. Su ejemplo tiene divisor canónico trivial. Así que responde negativamente a la pregunta de Poonen en los comentarios de abajo.
Resumiendo, $K=0$ para una curva afín es necesario pero no suficiente para que la curva sea plana, sin embargo hay que tener en cuenta que $K=0$ es necesario y suficiente para que una curva afín sea una intersección completa.
