¿Los singletons están cerrados o abiertos en la topología del límite inferior?

Question

Recuerde $(\mathbb{R}, \mathcal{T}_\text{lower limit})$ donde la topología de límite inferior $\mathcal{T}_\text{lower limit} = \mathcal{T_\mathcal{B}}$ donde $\mathcal{B} = \{[a,b) \subseteq \mathbb{R}, a < b\}$

Pregunta: ¿Los conjuntos singleton $\{a\}, a \in \mathbb{R}$ son abiertos?

Intento:

$\{a\}^c = \mathbb{R}\backslash\{a\} = (-\infty, a) \cup (a, \infty) \in \mathcal{T}_{lowerlimit}$

Entonces $\{a\}$ es cerrado

¿Correcto?

Answer 1

Es cierto que los singletons están cerrados. Pero los singletons también podrían ser abiertos. No lo has demostrado. Es cierto que si todos los singletons son abiertos, el espacio es discreto, lo cual no es cierto. Pero aún así podría haber algún singleton raro que sea abierto, ¿quizás? Mostrar que algo está cerrado no significa que no esté abierto: ¡en la topología del límite inferior $[0,1)$ es tanto abierto como cerrado! Así que intenta una demostración directa, sin usar la condición de cerrado:

Supongamos que $\{p\}$ es abierto. Entonces debe haber un conjunto básico abierto de la topología del límite inferior, es decir, un conjunto de la forma $[a,b)$, tal que $p \in [a,b) \subseteq \{p\}$. En otras palabras, todos los puntos en este $[a,b)$ deben ser iguales a $p$. Pero esto es claramente absurdo, ya que $[a,b)$ es infinito (o simplemente notar que tanto $a$ como $a + \frac{b-a}{2}$ están en él). Por lo tanto, $\{p\}$ no puede ser abierto. Y esto se cumple para cualquier $p \in \mathbb{R}$.

Answer 2

Es cierto que los singletons están cerrados, pero puede ser útil mostrar por qué exactamente $(-\infty, a)$ y $(a, \infty)$ son abiertos para cada $a \in \mathbb{R}$. Utiliza conjuntos de la forma $[-n, a)$ para $(-\infty, a)$ y algo similar para el otro. Ten en cuenta que los singletons no pueden ser abiertos en esta topología. Si lo fueran, ¿qué podrías decir sobre cualquier subconjunto arbitrario $A \subseteq \mathbb{R}$?