Las álgebras W aparecen en al menos tres contextos interrelacionados.
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Jerarquías integrables como en el artículo de Leonid Dickey que mathphysicist menciona en su respuesta. Las EDP integrables como la ecuación de KdV son bihamiltonianas, lo que significa que las ecuaciones de movimiento pueden escribirse en forma hamiltoniana con respecto a dos estructuras de Poisson diferentes. Una de las estructuras de Poisson es constante, mientras que la otra (la llamada segundo soporte Gelfand-Dickey ) define lo que se denomina álgebra W clásica . Para la ecuación de KdV es el álgebra de Lie de Virasoro, pero para Boussinesq y las reducciones de orden superior de la jerarquía KP se obtienen álgebras de Poisson más complicadas.
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Reducción Drinfeld-Sokolov para lo que quizá desee echar un vistazo al trabajo de Edward Frenkel a principios de los años noventa. Esto proporciona una construcción homológica de las álgebras W clásicas a partir de un álgebra de Lie afín y un elemento nilpotente. También se pueden construir las llamadas álgebras W finitas partiendo de un álgebra de Lie simple de dimensión finita y un elemento nilpotente. El artículo original es ésta de de Boer y Tjin . A lote se está trabajando mucho en las álgebras W finitas. Tal vez desee consultar el trabajo de Premet.
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Teoría de campos conformes . Este es quizás el contexto original y sin duda el que les dio nombre. Esto se deriva de este artículo de Zamolodchikov . En este contexto, un álgebra W es un tipo de álgebra de operadores de vértice: el álgebra de operadores de vértice generada por el vector Virasoro junto con un número finito de campos primarios. Se puede encontrar una revisión sobre este aspecto de las álgebras W en este informe de Bouwknegt y Schoutens .
Hay mucha bibliografía sobre las álgebras W, de la que yo conozco mejor la de física matemática. Tuvieron su apogeo en Física hacia finales de los años ochenta y principios de los noventa, cuando ofrecieron la esperanza de clasificar teorías de campo conformes racionales con valores arbitrarios de la carga central. La motivación vino de la teoría de cuerdas, en la que te gustaría tener una buena comprensión de las teorías de campos conformes de $c=15$ . Las teorías de campo racionales conformes sin simetría extendida sólo existen para $c<1$ por lo que para superar este límite había que introducir campos adicionales (al estilo de Zamolodchikov). Se ha trabajado mucho sobre las álgebras W (en el sentido de 3 ) ocurrieron durante este tiempo.
La aparición de modelos matriciales para la teoría de cuerdas en torno a 1989-90 (es decir, aplicaciones de la teoría de matrices aleatorias a la teoría de cuerdas) centró la atención en las jerarquías integrables, cuyo $\tau$ -están íntimamente relacionadas con las funciones de partición del modelo matricial. Esto dio lugar a muchos trabajos sobre las álgebras W clásicas (en el sentido de 1 arriba) y también a la constatación de que podrían construirse à la Drinfeld-Sokolov .
Las principales cuestiones pendientes se referían a geometría de las álgebras W, es decir, una realización geométrica de las álgebras W análoga a la forma en que el álgebra de Virasoro es (la extensión central universal de) el álgebra de Lie de los campos vectoriales en el círculo, y la teoría de la representación. Supongo que es esta última cuestión la que motiva gran parte de la investigación actual sobre álgebras W en Álgebra.
Añadido
Por si se lo pregunta, la etimología es bastante prosaica. El primer ejemplo de Zamolodchikov fue un operador álgebra de vértices generado por el vector Virasoro y un campo de pesos primario $W$ de peso 3. La gente empezó a referirse a esto como Zamolodchikov $W_3$ álgebra y el resto, como suele decirse, es historia.
Añadido más tarde
La respuesta de Ben motiva el estudio de las álgebras W finitas desde la teoría de la representación geométrica y señala que una álgebra W finita puede verse como la cuantificación de una reducción de Poisson particular del dual del álgebra de Lie con la estructura de Poisson estándar de Kirillov. La construcción que he mencionado antes hace esto en cierto sentido en el orden inverso: primero se cuantiza la estructura de Poisson de Kirillov y luego se toma Cohomología BRST que es el análogo cuántico de la reducción de Poisson.
