Hace 4 números primos consecutivos siempre la forma de un polígono?

Question

Relacionado con esta cuestión, si 4 segmentos de longitud de 4 números primos consecutivos, puede que siempre forma un 4 vértices del polígono?

Esta pregunta se me ocurrió por pura curiosidad, pero ahora no puedo probar o refutar, y yo no puedo dormir sabiendo que.

De acuerdo a una forma de postulado de Bertrand, $p_ {n+1} < 1.1 \times p_{n}$ de las grandes suficientemente $n$, por lo que es fácil demostrar que para lo suficientemente grande como $n$, la declaración sobre el polígono es cierto. Pero, ¿cómo saber el valor de "lo suficientemente grande como $n$", por lo que la declaración sobre los polígonos pueden ser controladas manualmente por menor $n$?

Answer 1

Por la pregunta que te enlaza, el mayor $3$ cualquier $4$ números primos consecutivos forman un triángulo. Mantener una parte fija en el lugar, desconecte la esquina opuesta y el swing de los otros dos lados hacia el exterior (con cada lado que gira alrededor de la esquina donde se toca el lado fijo), hasta que los tres lados forman un solo segmento de línea.

Durante este proceso, la distancia entre el movimiento de los extremos comienza a $0$ y cambia continuamente hasta que la suma de las grandes $3$ de los números primos, así que por el Teorema del Valor Intermedio en algún punto es igual a los primos más pequeños. Conecte los extremos y que tiene su cuadrilátero.

Answer 2

Sí.

Tener las longitudes de ser válido para un cuadrilátero, uno de los lados debe tener la longitud menor que la suma de las longitudes de los otros tres lados.

Bertrand Postulado asegura que esto es fácilmente satisfecho por cuatro períodos consecutivos de números primos.