En general, comprender la probabilidad de error de descodificación de un código LDPC es un problema muy difícil. Entre los principales canales que se han estudiado ampliamente, hasta donde yo sé, los canales binarios de borrado son los únicos que permiten una caracterización combinatoria sencilla de los patrones de error dominantes. Así pues, no se dispone de una noción combinatoria análoga a la distancia mínima de un código lineal para la descodificación de máxima verosimilitud para los canales simétricos binarios cuando se trata de descodificación iterativa basada en la propagación breve.
Dicho esto, si se desea un límite mediante una estrategia similar a la de considerar la distancia mínima, se puede analizar la probabilidad de error de descodificación de un código LDPC bajo propagación breve identificando el tipo de patrón de error que no se corregirá independientemente del número de iteraciones que realice el descodificador. En otras palabras, dado un código, se intenta averiguar el tipo de conjunto $T$ de bits donde falla la propagación breve si los bits en $T$ todos se voltean. Estos patrones de error se denominan juegos de trampas . (Pero distintos autores utilizan términos diferentes o el mismo término para significar cosas diferentes, así que tenga cuidado). Dado un código LDPC $\mathcal{C}$ y probabilidad de cruce $p$ del canal (es decir, cada bit se voltea con probabilidad $p$ ), si se identifican todos los conjuntos de trampas pequeñas de $\mathcal{C}$ en principio, se debería poder obtener una buena estimación de la probabilidad de error de descodificación en la región de error mínimo (es decir, cuando $p$ es suficientemente pequeño), suponiendo que se realiza un número suficientemente grande de iteraciones.
El problema es que es extremadamente difícil identificar todos los conjuntos de trampas significativos para un código dado porque no existe una caracterización combinatoria. Existen estudios sobre algoritmos que tratan de encontrar conjuntos de captura dominantes de un código LDPC dado (por ejemplo, M. Karimi, A. H. Banihashemi, Algoritmo eficiente para encontrar conjuntos de captura dominantes de códigos LDPC, IEEE Trans. Inf. Theory, 58 (2012) 6942-6958 ). Pero, en general, las simulaciones son más prácticas a efectos de estimación del rendimiento que intentar obtener un equivalente del enumerador de pesos y calcular la probabilidad de error de descodificación como se hace con el número $c_w$ de palabras clave de peso Hamming $w$ .
Si desea que el exacto probabilidad de error de descodificación para cualquier probabilidad de cruce $p$ cuando una matriz de comprobación de paridad $H$ de un código LDPC, existe un artículo que estudia este problema. Como ya se sabe, el algoritmo de descodificación estándar basado en la propagación breve para códigos LDPC (es decir, el algoritmo suma-producto) se caracteriza por la probabilidad $p'$ para la inicialización (que suele ser la probabilidad de cruce del canal) y el número $l$ de las iteraciones máximas. M. Hagiwara, M. P. C. Fossorier, H. Imai, Descodificación de inicialización fija de códigos LDPC sobre un canal simétrico binario, IEEE Trans. Inf. Theory, 58 (2012) 2321-2329 demostró que si $p'$ es fija (por lo que la probabilidad de inicialización $p'$ no suele ser igual a la probabilidad de cruce $p$ ), la probabilidad de error de descodificación es una función polinómica de $p$ .
Pero solemos fijar $p'=p$ . En este caso, demostraron que existen matrices de comprobación de paridad para las que las probabilidades de error de descodificación no son funciones continuas de $p$ .
