Prueba de la ecuación de la matriz de Lyapunov

Question

Leí el libro Introducción a los sistemas lineales de Antsaklis, Panos J., y Anthony N. Michel (Vol. 1. Boston: Birkhäuser, 2007) y me confunde una parte de la demostración de un teorema sobre la ecuación de la matriz de Lyapunov.

\begin{equation} \dot{x}=Ax\tag{4.22} \end{equation} \begin{equation} C=A^TP+PA\tag{4.25} \end{equation} Teorema 4.22 . El equilibrio $x = 0$ de (4.22) es estable si existe un real, simétrica y definida positiva $n \times n$ matriz $P$ tal que la matriz $C$ dada en (4.25) es semidefinido negativo .

Prueba . A lo largo de cualquier solución $ \phi(t,x_0) \triangleq \phi(t)$ de (4.22) con $\phi(0,x_0)=\phi(0)=x_0$ tenemos

\begin{equation} \phi(t)^TP\phi(t)=x_0^TPx_0+\int_0^t \frac{d}{d\eta}\phi(\eta)^TP\phi(\eta)d\eta\\ =x_0^TPx_0+\int_0^t \phi(\eta)^TC\phi(\eta)d\eta \tag{*} \end{equation}

para todos $t \ge 0$ ........

¿Cómo obtener (*)?

Answer 1

Se trata de una variante del teorema fundamental del cálculo, es decir, para un absolutamente continua función $f$ en $[0,T]$ que tenemos para $t \in [0,T]$

$$f(t)=f(0)+\int_0^t \frac{d}{dy} f(y) ~dy$$

Así que en su caso para $f(t)=\phi(t)^T P\phi(t)$ obtenemos

\begin{align} \phi(t)^T P\phi(t)&=\phi(0)^T P\phi(0)+\int_0^t \frac{d}{dy} \phi(y)^T P\phi(y) ~dy \\ &=x_0^T Px_0+\int_0^t \frac{d}{dy} \phi(y)^T P\phi(y) ~dy \end{align}