Sea $B(H)$ sea el álgebra de todos los operadores lineales autoadjuntos limitados en $H$ . Sea $\{T_i\}$ sea una red uniformemente acotada en $B(H)$ convergiendo hacia $T$ en la topología de operador débil. Sea $Tr$ sea la traza regular en $B(H)$ . ¿Es cierto que $$sup_i Tr (e^{T_i}(\frac{\varepsilon}{2},\infty)) \ge Tr (e^{T}(\varepsilon,\infty)) $$ para cualquier $\varepsilon>0$ ? Aquí $e^{T}(\varepsilon,\infty)$ denota la proyección espectral.
Respuesta
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Como se pedía en los comentarios, he aquí una prueba en el caso de fuerte en lugar de la convergencia débil (y para $\epsilon\geq 0$ ).
Obsérvese en primer lugar que la función característica de $(\epsilon,\infty)$ es semicontinua inferior, es decir, existe una sucesión de funciones continuas positivas $f_k$ con soporte compacto tal que $f_k\nearrow 1_{(\epsilon,\infty)}$ puntualmente. Dado que el cálculo funcional es continuo para tales funciones (Takesaki, Lemma II.4.3), se deduce que $f_k(T_i)\to f_k(T)$ fuertemente para todos $k\in\mathbb{N}$ . En $\mathrm{Tr}$ es débilmente semicontinua inferior en conjuntos acotados, esta convergencia implica que $$ \mathrm{Tr}(f_k(T))\leq \liminf_{i}\mathrm{Tr}(f_k(T_i))\leq \liminf_i \mathrm{Tr}(1_{(\epsilon,\infty)}(T_i)). $$ Por fin, $f_k\nearrow 1_{(\epsilon,\infty)}$ implica $1_{(\epsilon,\infty)}(T)=\sup_k f_k(T)$ . Así, podemos utilizar la normalidad de $\mathrm{Tr}$ para ver que $$ \mathrm{Tr}(1_{(\epsilon,\infty)}(T))=\sup_{k\in\mathbb{N}}\mathrm{Tr}(f_k(T))\leq \liminf_i \mathrm{Tr}(1_{(\epsilon,\infty)}(T_i)). $$ Por supuesto, si $\epsilon\geq 0$ tenemos $1_{(\epsilon,\infty)}\leq 1_{(\epsilon/2,\infty)}$ por lo que esta desigualdad implica la de la pregunta original.
Este argumento se basa en la continuidad del cálculo funcional con respecto a la topología fuerte del operador. Esta continuidad falla para la topología de operador débil y no sé cómo proceder en este caso (o si la desigualdad es siquiera cierta).
