¿Cuál es el valor mínimo de $\csc x - \sin x$ ?

Question

¿Cuál es el valor mínimo de $\csc x - \sin x$ ? Diferenciando y poniéndolo a cero no se obtiene nada significativo. ¿Cómo puedo encontrar el valor mínimo?

Answer 1

No hay mínimo (absoluto) si no ponemos restricciones al dominio. Esto es obvio, ya que $\csc x$ es grande negativo cuando $x$ es negativo y cercano a $0$ . No se necesitan derivados.

Si restringimos el dominio a $(0,\pi)$ entonces tal vez esté justificada la diferenciación. Yo establecería $f(x)=\frac{1}{\sin x}+\sin x$ y diferenciar. Obtenemos $-\frac{\cos x}{\sin^2 x}+\cos x$ Eso es, $\frac{\cos x(\sin^2 x-1)}{\sin^2 x}$ . Esto es $0$ en $x=\frac{\pi}{2}$ . La cima es negativa en el intervalo $(0,\pi/2)$ y positivo en $(\pi/2,\pi)$ por lo que tenemos un mínimo en $x=\pi/2$ .

También hay formas no calculísticas de hallar el mínimo en el intervalo $(0,\pi)$ .

Answer 2

F(x) = Cosec x - sen x = (1/sin x)-sin x

\=(1-sin^2(x))/sin x

\= cos^2(x)/sinx=1/(sec x tan x). ¿Servirá de algo?

Nota: f(x) se minimiza cuando (sec xtan x) se maximiza.