¿Cuál es la propiedad universal "correcta" de la terminación de un espacio métrico?

Question

Me da un poco de vergüenza preguntar esto, pero podría ser útil para una clase que estoy dando, así que aquí va:

Sea $X$ sea un espacio métrico. Todos sabemos que $X$ admite una finalización que es un espacio métrico completo $\hat{X}$ junto con una incrustación isométrica $\iota: X \hookrightarrow \hat{X}$ con imagen densa. Además, se aprende que esta terminación es esencialmente única.

Desde una perspectiva moderna, a uno le gustaría darse cuenta de la finalización como la satisfacción de alguna propiedad de mapeo universal: esto hace precisa la "esencialmente único" por encima y da algunas propiedades functoriales. Pero me parece que la terminación satisface dos propiedades diferentes:

1) Es universal con respecto a las incrustaciones isométricas en espacios métricos completos.

2) Es universal con respecto a mapas uniformemente continuos en espacios métricos completos.

Por supuesto, 1) es la más obvia. De alguna investigación en Internet deduzco que se supone que 2) es la opción "correcta", y su utilidad está relacionada con el hecho de que los mapas uniformemente continuos tienen la propiedad de extensión (de nuevo, no recuerdo bien esto de mis días de no graduado; ¿está en la obra de Rudin Principios ). Sin embargo, me parece extraño que al tomar 2), también obtengamos gratuitamente que el mapeo $\iota$ es una incrustación isométrica (en particular, a partir de 2) ni siquiera parece completamente obvio que sea inyectiva). Ciertamente, uno puede ver esto mediante la construcción de la finalización, pero ¿hay una manera más directa?

Sospecho que éste es un caso en el que los pensadores más categóricos me llevan ventaja, y estoy dispuesto a ser iluminado.

Answer 1

Esto no responde del todo a tus preguntas sobre (2), pero se podría decir lo siguiente: dada una métrica, existe una estructura uniforme subyacente. Entonces podemos formar la terminación con respecto a esta estructura uniforme, que es universal para mapas uniformemente continuos en espacios uniformes completos. Que este mapa sea inyectivo se debe a la existencia de "suficientes" espacios uniformes completos. (Y para demostrarlo, ¡se construye la terminación! Todavía estoy pensando en enfoques alternativos, menos constructivos, para esto).

Pero creo que ahora se puede relacionar (2) con (1) a través del siguiente lema:

Si $X$ es un espacio uniforme, y $d$ es una métrica en $X$ que induce la estructura uniforme dada, entonces $d$ se extiende únicamente a la finalización de $X$ .

Pruebas: Algo parecido a: $d$ es uniformemente continua desde $X \times X$ a $\mathbb R$ y así sucesivamente.

Así pues, el objeto universal de (2) tenía que ser también el objeto universal de (1).

Answer 2

La propiedad universal canónica (en la medida en que se da como ejemplo en el libro de Maclane :P ) puede enunciarse: la subcategoría completa de espacios métricos completos es reflexiva en la categoría de espacios métricos y mapas uniformemente continuos, y el functor de terminación es el reflector.

Answer 3

Querido Pete,

Quiero demostrar que si $X$ es un espacio métrico, y si $x_0$ et $x_1$ son dos puntos distintos de $X$ entonces existe un mapa $f:X \rightarrow Y$ que es uniformemente continua, con $Y$ completa, y tal que $f(x_0) \neq f(x_1)$ . El punto principal es que mi prueba no se referirá a la finalización $\widehat{X}$ de $X$ . A continuación, dará una prueba de que $X \rightarrow \widehat{X}$ es necesariamente inyectiva, sin hacer referencia a la construcción de $\widehat{X}$ .

La construcción es sencilla: tome $Y = {\mathbb R}$ y defina $f(x) = d(x,x_0).$

(Nota: ligeramente editado a partir de la primera versión, que tenía complicaciones innecesarias en la definición de $f$ .)

Answer 4

Mike Shulman dar la impresión ici que entender la terminación de un espacio uniforme es un poco más complicado que para un espacio métrico:

Terminación de Cauchy de un espacio métrico es, por supuesto, una instancia de Cauchy terminación de categorías enriquecidas. I creo que la terminación de Cauchy de una espacio uniforme es en realidad también una instancia de una noción categórica categórica general de terminación de Cauchy, pero en más gen equipo (a saber, el equipo de conjuntos y filtros). [ ] interpretación" en espacio uniforme para un resumen demasiado breve de este punto de punto de vista.