Demostración de que la intersección de cualquier número finito de conjuntos convexos es un conjunto convexo

Question

¿Cómo demostrar que la intersección de cualquier número finito de conjuntos convexos es un conjunto convexo?

No tengo ni idea.

Answer 1

Sea $(S_i)$ sea un conjunto convexo para $i = 1,2,\ldots,n$ .

Para cualquier $x,y \in \cap_{i=1}^n S_i$ , $t \in [0, 1]$ tenemos:

Para $i = 1,2,\ldots,n$ , $x \in S_i$ et $y \in S_i$ implica $tx + (1-t)y \in S_i$ por convexidad de $S_i$ .

Por lo tanto $tx + (1-t)y \in \cap_{i=1}^nS_i$ .

Por lo tanto $\cap_{i=1}^nS_i$ es convexa.