Un tipo de orden $\tau$ igual a su fuerza a $\tau^n, n>2$

Question

En esta pregunta, que se refiere sólo a lineal (aka total) tipos de orden. Por una cardinalidad de un tipo de orden que entendemos que la cardinalidad de una instancia de este tipo, que, obviamente, no depende de la selección de dicha instancia en particular. Algunos de los tipos de órdenes que se producen con mayor frecuencia y particularmente agradable propiedades son números ordinales (que son el fin de los tipos de bien-órdenes) y de su bien conocido y destacado subconjunto finito de los números ordinales (aka números naturales $\mathbb{N}$).

Recordar que:

• $0, 1, 2, \dots$ — lineal único tipo de orden para cada uno de cardinalidad finita.
• $\omega$ — el tipo de orden de $\mathbb{N}$ ordenados por magnitud, el más pequeño infinito (numerable) ordinal.
• $\omega_1$ — el tipo de pedido del conjunto de todas contables ordinales, ordenado por "es el segmento inicial de la" relación (o, equivalentemente, por $\in$ respecto). Es el más pequeño de innumerables ordinal, el primer ordinal de la 2ª infinito cardenal $\aleph_1$.
• $\eta$ — la densa contables tipo de orden de los números racionales $\mathbb{Q}$ mi orden de su magnitud, que es también un tipo de orden de cualquier denso numerable orden lineal sin primero y último elementos (por ejemplo, el conjunto de los positivos números algebraicos).

La suma y el producto de tipos de orden natural generalizaciones de (y son consistentes con) la suma y el producto de los números ordinales, que consideramos bien conocido. Estas operaciones son asociativas, pero en general, no conmutativa. Por ejemplo: $\eta+1 \ne 1+\eta\ne\eta$, pero $\eta+1+\eta=\eta+\eta=\eta=\eta\cdot\eta=\eta\cdot\omega=(\eta+1)\cdot\omega\ne\omega\cdot\eta$ (el último fin de no ser denso). De curso $\eta\cdot\omega_1\ne\eta$ debido a los diferentes cardinalidad, aunque cada apropiado segmento inicial de $\eta\cdot\omega_1$ $\eta$ o $\eta+1$. Tenga en cuenta que $\eta\cdot\omega_1=(\eta + 1)\cdot\omega_1\ne(1+\eta)\cdot\omega_1$, e incluso al $(1+\eta)\cdot\omega_1\ne1+\eta\cdot\omega_1$, a pesar de $(1+\eta)\cdot\omega=1+\eta$. Estamos de acuerdo en que un entero positivo poder de un tipo de orden es sólo un sintáctica de acceso directo para la multiplicación repetida.

Hay algunos tipos de orden de satisfacer $\tau^2=\tau$, por ejemplo: $0, 1, \eta, \omega\cdot\eta$$\omega^2\cdot\eta$.

Pregunta: ¿existe un orden lineal tipo $\tau$ tal que $\tau^2\ne\tau$, pero $\tau^n=\tau$ para algunos entero $n>2$?

Answer 1

En realidad no responder a la pregunta planteada, sin duda, pero voy a postear como una respuesta, ya que hace responder a una pregunta relacionada.

Podemos pedir más en general, podemos encontrar un orden $\tau$ tal que existen distintos $n$ $m$ tal que $\tau^n=\tau^m$, otras que las satisfacciones $\tau=\tau^2$? Tenga en cuenta que si tenemos un $\tau$, entonces existe una $n$ tal que $\tau^n=\tau^{n+1}$, o mediante la adopción de una alimentación adecuada de $\tau$ podemos encontrar un orden que en realidad responde a la pregunta original.

Bueno, como he dicho, no tengo un ejemplo de esto último, pero tengo un ejemplo de lo anterior. Deje $\tau=\omega(\eta+1)$. Desde $(\eta+1)\omega=\eta$, obtenemos $\tau^2=\omega\eta$, y de manera similar a $\tau^3=\omega\eta=\tau^2$. Pero $\omega(\eta+1)\ne\omega\eta$ como el anterior tiene un segmento final isomorfo a $\omega$ y el segundo no (como una forma para ver por qué, tenga en cuenta que cualquier segmento final contiene una copia de $\omega2$).

Así que al menos exista $\tau$ $\tau^3=\tau^2$ pero no $\tau^2=\tau$, a pesar de que no parece producir una respuesta a la pregunta original.

Answer 2

Estas preguntas han sido considerados en el pasado. De W. Sierpiński de los Números Cardinales y Ordinales, segunda edición revisada, Warszawa 1965, pág. 235: "no sabemos hasta ahora ningún ejemplo de dos tipos de $\varphi$$\psi$, de tal manera que $\varphi^2=\psi^2$ pero $\varphi^3\ne\psi^3$ o tipos de $\gamma$ $\delta$ tal que $\gamma^2\ne\delta^2$ pero $\gamma^3=\delta^3$. Tampoco sabemos que cualquier tipo de $\alpha$ tal que $\alpha^2\ne\alpha^3=\alpha$." También, a partir de p. 254: "no sabemos si existen dos diferentes numerable tipos de órdenes que están de la mano izquierda divisores de cada uno de los otros. Tampoco sabemos si existen dos diferentes tipos de orden, que son los dos de la mano izquierda y la mano derecha de divisores de cada uno de los otros." Por supuesto, si $\tau^n=\tau$ para algunos entero$n\gt2$, $\tau^2$ $\tau=\tau^2\tau^{n-2}=\tau^{n-2}\tau^2$ son ambos de la mano izquierda y la mano derecha de divisores de cada uno de los otros.

Para lo que vale, aquí es una respuesta parcial a la pregunta, para una clase especial de tipos de orden. Por "tipo de pedido", me refiero lineal tipo de orden. Un tipo de orden $\xi$ dice que es un "primer elemento" si es el tipo de un conjunto ordenado con un primer elemento, es decir, si $\xi=1+\psi$ algunos $\psi$; lo mismo va para el "último elemento".

La proposición. Si $\alpha$ es una contables tipo de orden, y si $\alpha\xi=\alpha$ por algún tipo de orden $\xi$ con el primero y el último elemento, a continuación, $\alpha\beta=\alpha$ por cada contables tipo de orden $\beta\ne0$.

Corolario. Si $\tau$ es un tipo de orden contables con el primero y el último elemento, y si $\tau^n=\tau$ para algunos entero$n\gt1$,$\tau^2=\tau$.

El corolario se obtiene mediante el establecimiento $\alpha=\beta=\tau$ $\xi=\tau^{n-1}$ en la proposición.

La proposición se prueba por una forma modificada de Cantor es de ida y vuelta argumento. Es decir, vamos a $A$ ser un conjunto ordenado de tipo $\alpha=\alpha\xi$, y deje $B$ ser un conjunto ordenado de tipo $\alpha\beta$. Un isomorfismo entre el $A$ $B$ será construida como la unión de una cadena de parcial isomorphisms $f_k$ de la siguiente forma. El dominio de $f_k$ $I_1\cup I_2\cup\dots\cup I_k$ donde $I_1,\dots,I_k$ son intervalos en $A$ el tipo de pedido $\alpha$; $I_1\lt\dots\lt I_k$; el intervalo en $A$ $I_j$ y $I_{j+1}$ ($1\le j\lt k$), así como el intervalo a la izquierda de $I_1$ y el intervalo a la derecha de $I_k$, tienen tipos de órdenes que son cero a la derecha múltiplos de $\alpha$. El rango de $f_k$ $J_1\cup\dots\cup J_k$ donde $J_1,\dots,J_k$ son intervalos en $B$ tipo $\alpha$, etc. etc. etc., y $f(I_1)=J_1,\dots,f(I_k)=J_k$.

Answer 3

Para cualquier ordinal $\tau$ > 1, la función de $F(n) = \tau^n$ es una función creciente, por lo que si $\tau^2 \neq \tau$ $\tau^2 > \tau$ $\tau^n \neq \tau$ cualquier $n$.