¿Qué lugar ocupa una fuerza de par en el teorema trabajo-energía?

Question

En primer lugar, perdón por la pregunta mal formulada, simplemente no se me ocurrió una forma mejor de expresarla.

Así pues, el teorema trabajo-energía establece que el trabajo realizado sobre un objeto es igual a la variación de su energía cinética.

$W=\Delta K$

Consideremos ahora un yoyó que se deja caer desde el reposo. Supongamos que cae una distancia h en t segundos. Para que el resultado sea correcto, debemos tener en cuenta el efecto de T al calcular h, pero no al calcular F.

si:

$$\sum F = mg$$

$$h = \frac{(g - \frac{T}{m})t^2}{2}$$

Desde $$W = \Delta K = mgh = K_{rot} + K_{trans} = \frac{3}{4} m v^2$$

$$v=\frac{mg-T}{m}t$$

Encontramos $T = mg/3$

Pero si:

Nosotros decimos $\sum F = mg - T$ ;

Encontramos $2=3$ tras las cancelaciones.

Mi pregunta real es ¿por qué no tenemos en cuenta T al calcular la fuerza total que realiza el trabajo? Tanto la tensión como la gravedad hacen trabajo sobre el objeto, pero cuando tengo en cuenta la tensión todo se viene abajo. ¿Qué es lo que separa la tensión?

Answer 1

La fuerza de tensión realiza 2 "tipos" de trabajo:

• Actúa sobre el yoyo oponiéndose a su movimiento, afecta al KE traslacional y;
• Proporciona un par alrededor del centro de rotación (presumiblemente el CoM), afectando al KE rotacional.

El trabajo (que afecta al movimiento de traslación) de la fuerza de tracción es $$W_\mathrm{tension,\ trans}=-Th$$

mientras que el trabajo de la tensión (que afecta al movimiento de rotación) es $$W_{\rm tension,\ rot}=Tr\Delta\theta$$

donde $r$ es la distancia entre el centro de rotación y el punto donde se aplica la tensión. Suponiendo rodadura sin deslizamiento, $h=r\Delta\theta$ y así, $$W_{\rm tension, \ rot}=Th$$

Por lo tanto, es obvio que $W_\mathrm{tension,\ trans}+W_{\rm tension,\ rot}=0$ . Así pues, si decide incluir el trabajo por tensión, tendrá que contabilizar el trabajo realizado en la traducción del CdM Y el par alrededor del CdM, que suman cero, por lo que pueden excluirse de los cálculos.

Además, no olvides incluir la energía cinética rotacional en tu teorema de trabajo-KE.

Answer 2

$\vec F_{ext} = M \vec a$ donde $\vec F_{ext}$ es la fuerza exterior neta, $M$ es la masa total, y $\vec a$ es la aceleración del centro de masa (CM). $F_{ext} = mg - T$ hacia abajo donde T es la tensión en la cuerda del yo-yo. Esto es para el movimiento del CM. $T$ no es constante.

El yo-yo tiene movimiento de rotación alrededor del CM, así como movimiento de traslación del CM. $\vec \tau_{ext} = d\vec L/dt$ donde $\vec \tau _{ext}$ es el par total con respecto al CM y $\vec L$ es el momento angular con respecto al centro de masa. Este par se debe a $T$ .

En cuanto a tu pregunta sobre T y trabajo, la fuerza T no realiza ningún trabajo suponiendo que no hay deslizamiento en la superficie de la cuerda/yo. La fuerza T es una restricción que proporciona un par pero T no realiza ningún trabajo sobre el yo en su conjunto . Esto es similar a un objeto que rueda por un plano sin resbalar; en este caso, la fuerza de rozamiento proporciona un par pero no realiza ningún trabajo, ya que no hay movimiento relativo entre la fuerza de rozamiento y el punto de contacto del objeto sobre el plano. Véase uno de los textos de física de Halliday y Resnick. Esto nos permite utilizar la conservación de la energía mecánica para evaluar el problema de la siguiente manera. [Si la cuerda resbala, entonces $T$ funciona en el yo-yo].

Suponiendo que no hay pérdidas por rozamiento ni deslizamiento de la cuerda del yoyó, para un yoyó que se desenrolla partiendo del reposo, por conservación de la energía, después de caer una distancia $h$ : $mgh = mv^2/2 + I \omega ^2/2$ donde $I$ es el momento de inercia del yo yo, $v$ es la velocidad del CM, y $\omega$ es su velocidad angular con respecto al CM, igual a $v/r$ donde $r$ es la distancia desde el CM hasta donde se enrolla la cuerda en el yo-yo. [Nota: se trata de una evaluación de $Work = \Delta Kinetic \enspace Energy$ para el yo yo donde $Work = mg$ (el trabajo de la gravedad se considera un cambio en la energía potencial), y $Kinetic \enspace Energy$ incluye la energía de traslación del CM y la energía de rotación en torno al CM. $\int_{a}^{b}(mg - T)dx = \Delta KE_{CM} = 1/2Mv^2$ donde x es la distancia hacia abajo recorrida por el CM, pero esto es sólo para la energía cinética del CM no para todo el yo yo. En este sentido T funciona en el CM, pero no en el yo yo como un todo; la respuesta anterior por @User256872 discute esto].

Este intercambio contiene numerosos debates sobre este problema; por ejemplo, véase Problema simple de trabajo del yoyó . Véase también https://physics.princeton.edu/~mcdonald/ejemplos/yoyo.pdf en la web.

Answer 3

Mi pregunta real es por qué no tenemos en cuenta T mientras la fuerza total que realiza el trabajo. Tanto la tensión como la gravedad hacen trabajo sobre el objeto pero cuando tengo en cuenta la tensión todo se viene abajo. ¿Qué es lo que separa la tensión?

Tenemos en cuenta $T$ (Par) al calcular la fuerza total que realiza el trabajo. Lo tiene en cuenta porque el $\Delta KE$ en el teorema de la energía de trabajo es la suma del cambio en la energía cinética rotacional y traslacional. El par $T$ proporcionan el componente de energía cinética rotacional del cambio total de energía cinética debido al trabajo neto (rotacional + traslacional) realizado.

Espero que esto ayude.