Coeficientes en los diagramas de Feynman

Question

Consideremos la función de correlación de 4 puntos, $G(x_1,x_2,x_3,x_4)$ , en $\phi^4$ teoría. Consideremos el término $\propto \lambda^2$ representado por el siguiente diagrama de Feynman:

Según las reglas de simetría, debería obtener un $1/2$ factor de simetría, debido a las líneas centrales. Por lo tanto, yo supondría que

$$G_2(x_1,x_2,x_3,x_4) = -\frac{\lambda}{2}\int\int d^4x_5 d^4x_6\Delta_F(x_1-x_5)\Delta_F(x_2-x_5)\Delta_F(x_4-x_6)\Delta_F(x_3-x_6)\left(\Delta_F(x_5-x_6)\right)^2$$

donde $x_5$ y $x_6$ denotan los vértices. Sin embargo, si realizo los cálculos a mano, debería tener algo como $\frac{1}{2\times 24}\times 4 \times 3 \times 2 \times 6 \times 2 = 6 \neq \frac{1}{2}$ . ¿Qué estoy haciendo mal?

Answer 1

El factor es $\frac{1}{2!} \times \frac{1}{4!} \times \frac{1}{4!} \times 8 \times 3 \times 4 \times 3 \times 2 = \frac{1}{2}$ .

En $\frac{1}{2!}$ proviene de ampliar $e^x$ de segundo orden. Los dos factores de $\frac{1}{4!}$ proceden del término de interacción (que es $\frac{\lambda}{4!}$ ). Los factores restantes proceden del recuento de las contracciones, así que veámoslo. Los campos que deben contraerse son $$ \phi_1 \phi_2 \phi_3 \phi_4 \, \, \phi_x\phi_x\phi_x\phi_x \, \, \phi_y\phi_y\phi_y\phi_y $$ En primer lugar $\phi_1$ puede contratar con 8 campos diferentes. Todo es completamente simétrico, así que supongamos que se contrae con $\phi_x$ . $\phi_2$ debe contratar con $\phi_x$ también que ocurre de 3 maneras diferentes. $\phi_3$ contratos con $\phi_y$ de 4 formas diferentes y $\phi_4$ contratos con otro $\phi_y$ de 3 maneras diferentes. Por último, los restantes campos no contratados son $\phi_x \phi_x \,\, \phi_y \phi_y$ . La primera $\phi_x$ puede contratar con un $\phi_y$ de 2 formas diferentes y se fija la contracción final. Multiplicando todos los números de este apartado, obtenemos que el número de contracciones es $8\times3\times4\times3\times2$ .