Demuestre que el mapa de desplazamiento $\theta$ de la definición 6.3 es medible y conserva la medida.
No estoy seguro de cómo representar $\theta^{-1}$ que creo que es donde estoy parado en la solución de este problema.
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Did
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La confusión puede deberse a que no se ha tenido en cuenta que $\theta^{-1}$ es no se define como una función al menos no definida en el conjunto de imágenes de $\theta$ . Más bien, para cada función $\theta:E\to F$ (si $\theta$ es inyectiva o suryectiva o no) y cada $A\subseteq F$ se define $\theta^{-1}(A)=\{x\in E\mid\theta(x)\in A\}$ . Así, $\theta^{-1}$ no está definido en $F$ pero en $2^F$ con valores en $2^E$ .
Del mismo modo, cuando $E=F$ es un espacio de medidas $(E,\mathcal E,\mu)$ para decir que $\theta$ conserva la medida $\mu$ significa que $\mu(\theta^{-1}(A))=\mu(A)$ para cada $A$ en $\mathcal E$ .
Podemos demostrar un hecho más general. Sea $(\Omega,F,p)$ sea un espacio de probabilidad donde se definen iidrv's $X_k(k=1,2, \cdots)$ (en nuestro caso $(\Omega,F,p)=(R^N,\cal{E},\mu)$ ) y $\{ X_k : k \in N\}$ son proyecciones de coordenadas). La dirección $\theta$ -La invariancia de desplazamiento significa lo siguiente: Para cada subconjunto de Borel $A \subset \cal{B}(R^N)$ la siguiente igualdad $p(\{\omega : (X_k(\omega))_{k \ge 1} \in A\})= p(\{\omega : (X_k(\omega))_{k \ge 2} \in A\})$ es cierto. Utilizando el teorema de extensión de la medida de Charatheodory del álgebra al álgebra sigma mínima y una propiedad de unicidad de la medida extendida, basta con demostrar la validez de esta igualdad para subconjuntos elementales de $R^N$ con la forma $A_1\times \cdots \times A_n\times R^{N \setminus \{1,\cdots, n\}}$ donde $n \in N$ y $A_k \in \cal{B}(R)$ para $k=1,\cdots,n$ porque tales conjuntos constituyen un álgebra que genera exactamente una clase Borel de subconjuntos de $R^N$ . Desde $(X_k)_{k \ge 1}$ es el de iidrv $(X_k)_{k \ge 2}$ . Esta última relación implica $$p(\{\omega : (X_k(\omega))_{k \ge 1} \in A_1\times \cdots \times A_n\times R^{N \setminus \{1,\cdots, n\}}\})=\prod_{k=1}^n p(\{ \omega : X_k(\omega) \in A_k\})=\prod_{k=1}^n m(A_k)=\prod_{k=1}^{n} p(\{ \omega : X_{k+1}(\omega) \in A_k\})=p(\{\omega : (X_k(\omega))_{k \ge 2} \in A_1\times \cdots \times A_n\times R^{N \setminus \{1,\cdots, n\}}\}). $$
