Hay series como N= ¡3! ¡+ 4! +.....+ 64!. Se pregunta si es cuadrado perfecto o cubo . ¿Cómo identificar si N es cuadrado perfecto o cubo para cualquier factorial grande o para suma de factoriales?
Respuestas
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Franklin P. Dyer
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Definamos $a_n$ como $$a_n=3!+4!+...+n!$$ Reordena esta suma como $$a_n=3!(1+4+4\cdot 5+4\cdot 5\cdot 6+...+4\cdot5\cdot ...\cdot n)$$ Desde $3!=6$ no es un cuadrado perfecto ni divisible por un cuadrado perfecto, para que $a_n$ sea un cuadrado perfecto, la suma $1+4+4\cdot 5+...+4\cdot5\cdot ...\cdot n$ debe ser divisible por $6$ . Tenga en cuenta que todos los términos incluidos y posteriores al $4\cdot 5\cdot 6$ término son divisibles por $6$ por lo que toda la suma es divisible por $6$ sólo si $1+4+4\cdot 5$ es divisible por $6$ . Es no divisible por $6$ Así que $a_n$ no puede ser un cuadrado perfecto.
Por supuesto, esto supone que $n\ge 6$ pero puede comprobar los casos $n=3,4,5$ ya que sólo hay un número finito.
Stephen
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