Nota: Se trata de una pregunta bastante precisa y detallada sobre un aspecto importante pero técnico de la teoría algebraica de números. Mi respuesta está escrita a un nivel que considero apropiado para la pregunta; asume cierta familiaridad con el tema en cuestión.
La dificultad más básica es que no existe un mapa $R \rightarrow {\mathbb T}$ en general (es decir, normalmente no se sabe cómo crear representaciones de Galois adjuntas a formas automórficas).
La segunda dificultad es que en el método TWK hay que argumentar con primos auxiliares (los primos típicamente etiquetados como $Q$ ), y demostrar que al sumar estos primos, ${\mathbb T}$ crece de forma razonable (básicamente, es libre sobre $\mathcal O[\Delta_Q],$ donde $\Delta_Q$ es algo así como $p$ -Subgrupo Sylow de $({\mathbb Z}/Q{\mathbb Z})^{\times}.)$
Esto se demuestra (o alguna variante de ello) considerando la pregunta análoga sobre la cohomología de los cocientes aritméticos. Supongamos por un momento que estamos en el contexto de la variedad de Shimura, o tal vez en el contexto compacto en el infinito. Entonces será la cohomología de dimensión media la que nos interese, y si localizamos en un ideal máximo que no sea de Eisenstein podríamos esperar acabar con el resto de la cohomología. Entonces podemos sustituir un cálculo de cohomología de dimensión media por un cálculo de la característica de Euler, y es fácil ver que la característica de Euler se multiplicará por $|\Delta_Q|$ cuando añadimos los primos auxiliares $Q$ .
Pero en contextos más generales, no habrá una sola dimensión intermedia en la que el ideal máximo de interés esté soportado (incluso si no es Eisenstein), y el cálculo de las características de Euler dará simplemente $0$ que no sirve de mucho. Ni siquiera está claro que sea cierto que añadir los primos auxiliares fuerce el crecimiento apropiado de la cohomología, y la posible torsión en la cohomología sólo añade más complicación.
En la actualidad, varios grupos de investigadores, con distintos enfoques, trabajan para romper esta barrera.
Debo añadir que ahora se pueden manejar ciertas cuestiones sobre el campo no totalmente real, digamos preguntas relacionadas con conjugados autoduales de Galois sobre campos CM, porque éstas siguen estando relacionadas con un contexto de variedades de Shimura. Esto juega un papel en el reciente progreso en Sato--Tate para formas de mayor peso por Barnet-Lamb--Geraghty--Harris--Taylor y Barnet-Lamb--Gee--Geraghty, y es también la base de un reciente teorema sorprendente de Calegari que demuestra que si $\rho:G_{\mathbb Q} \to GL_2({\mathbb Q}_p)$ es ordinario en $p$ y de Rham con distintos pesos Hodge--Tate (y probablemente $\overline{\rho}$ debe cumplir algunas condiciones técnicas), entonces $\rho$ ¡es necesariamente impar!
