¿Cuál es el Hom-Set de dos complejos de cadenas?

Question

Tengo problemas para entender la definición del "complejo de mapeo" de dos complejos de (co)cadenas.
Denotemos por $\mathbf{Ab}$ la categoría de grupos abelianos y por $\mathbf{Kom(Ab)}$ la categoría de complejos de cadenas sobre $\mathbf{Ab}$. Dados dos complejos de cadenas $(C,d^{C}) y $(D,d^{C}), sobre una categoría aditiva $\mathcal{C}$, el complejo de mapeo Hom($C,D)\in\mathbf{Kom(Ab)}$ está definido por:
Hom($C,D)_{n}$:=$\Pi_{m\in\mathbb{Z}}$Hom($C_{m},D_{m+n}$) con diferencial $\delta_{n}((f_{m})):=d_{m+n}^{D}\circ{f_{m}}-(-1)^{n}f_{m-1}\circ{d_{m}^{C}}$, $n\in\mathbb{N}$.

¿Alguien podría dar una intuición detrás de esta construcción?
¿Por qué es esto un complejo de cadenas? (No se me permite usar el hecho de que $d^{C}$ o $d^{D}$ son mapas lineales.)
¿Cómo se define la homología de este complejo? (He aprendido que la homología es el conúcleo de este mapa Im($d_{n+1})\longrightarrow$kern($d_{n}$), pero no encaja con esta definición.)

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Para verificar que esto es un complejo de cadenas, simplemente calcula directamente:

$$ \newcommand\of[1]{\left({#1}\right)} \begin{align} \delta_{n-1}\delta_n (f_m)_m &= \delta_{n-1}\of{d_{m+n}^D f_m - (-1)^nf_{m-1}d_m^C}_m \\ &=\of{ d_{m+n-1}^D \of{d_{m+n}^Df_m-(-1)^nf_{m-1}d_m^C} -(-1)^{n-1} \of{d_{m+n-1}^Df_{m-1}-(-1)^nf_{m-2}d_{m-1}^C} d_m^C }_m \\ &=\of{ d_{m+n-1}^D d_{m+n}^Df_m- (-1)^n d_{m+n-1}^Df_{m-1}d_m^C -(-1)^{n-1} d_{m+n-1}^Df_{m-1}d_m^C +(-1)^{n-1}(-1)^nf_{m-2}d_{m-1}^C d_m^C }_m \\ &= 0 - (-1)^n d_{m+n-1}^Df_{m-1}d_m^C -(-1)^{n-1} d_{m+n-1}^Df_{m-1}d_m^C +0 =0. \end{align} $$

Ten en cuenta que la composición es bilineal en cualquier categoría aditiva, por lo que usar la ley distributiva está bien para pasar de la línea 2 a la línea 3.

En cuanto a la intuición, para comprender el significado de un complejo de cadenas, es una buena idea observar los ciclos, las fronteras y la homología para ver qué obtienes.

El núcleo de $\delta_n$ es el conjunto de mapas $(f_m)_m$ tal que $d_{m+n}^Df_m-(-1)^nf_{m-1}d_m^C=0$ para todo $m$, o en otras palabras, el conjunto de mapas $(f_m)_m$ tal que $d_{m+n}^Df = (-1)^nf_{m-1}d_m^C$. Esto debería recordarte a la definición de un mapa de cadenas. De hecho, para $n=0$, esto es precisamente un mapa de cadenas de $C$ a $D$.

Para $n\ne 0$, pensamos en estos como mapas de cadenas de grado $n$. Podemos definir complejos de cadenas desplazados $D[k]$ con $D[k]_n = D_{k+n}$, y $d^{D[k]}_{n} = (-1)^kd^D_{k+n}$. (El signo es para que las cosas funcionen bien, ten en cuenta que fue necesario mostrar $\delta_{n-1}\delta_n=0$ anteriormente. Consulta aquí para más discusión). Entonces la condición para que $(f_m)\in \newcommand\Hom{\operatorname{Hom}}\Hom(C,D)_n$ esté en el núcleo de $\delta_n$ es que $f_m$ sea un mapa de cadenas de $C$ a $D[n]$.

Bien, ¿qué pasa con la imagen de $\delta_{n+1}$? Bueno, esta es precisamente la definición de un mapa de cadenas nulhomotópico cualquier preimagen es una cadena de nullhomotopía.

Entonces los ciclos son mapas de cadenas de grado $n$, las fronteras son mapas de cadenas nulhomotópicos, y por lo tanto el grupo de homología consiste en clases de homotopía de mapas de cadenas de $C$ a $D$.