Demostrar que el tensor de curvatura es un tensor

Question

Para una conexión afín $\nabla$ probar la curvatura R

$R(X,Y,Z,\alpha)=\alpha(\nabla_X \nabla_Y Z - \nabla_Y \nabla_X Z -\nabla_{[X,Y]}Z)$

con $X,Y,Z$ campos vectoriales y $\alpha$ un covector, es un tensor.

Así que me doy cuenta de que el objetivo es probablemente demostrar que cada uno de los tres términos de la expresión para $R$ son a su vez tensores, pues entonces el resultado será evidente. Sin embargo, no estoy muy seguro de cómo demostrar que cada uno de estos términos son tensores. ¿Tengo que expandir cada derivada covariante para obtener un montón de coeficientes de conexión y luego ver algunas cancelaciones? Aún así, no estoy muy seguro de lo que voy a querer ver después de todo esto para que yo pueda decir " por lo tanto $R$ es un tensor".

También, muy relacionado con la pregunta, estoy un poco confundido con la diferencia entre

$\nabla_Y Z$ $\space \space$ y $\space \space$ $\nabla_{\mu}\omega$ .

La segunda la conozco como la derivada covariante de una 1-forma, pero qué se entiende por la derivada covariante de un vector $\textit{field}$ ? Por ejemplo, ¿cuál es la diferencia entre el $\nabla_Y$ y $\nabla_{\mu}$ ?

Edición: Al responder a esta última pregunta, me he dado cuenta de que $\nabla_YZ=Y^{\mu}\nabla_{\mu}Z^{\nu}$ y $\nabla_{\mu}\omega=\nabla_{\mu}\omega_{\nu}$ .

Answer 1

A $(k,l)$ -campo tensorial $A$ en un colector liso $M$ es una sección lisa $$A : M \longrightarrow T^{(k,l)}TM,$$ donde $T^{(k,l)}TM = \coprod_{p \in M} \underbrace{T_pM \otimes \cdots \otimes T_pM}_{k \text{ times}} \otimes \underbrace{T^*_pM \otimes \cdots \otimes T^*_pM}_{l \text{ times}}$ .

Cualquier campo tensorial tiene la propiedad de que para cualquier campo vectorial suave $X_1,\dots,X_l$ y campos covectores lisos $\omega^1,\dots,\omega^k$ tenemos una función suave $$A(\omega^1,\dots,\omega^k,X_1,\dots,X_l) : M \longrightarrow \mathbb{R}$$ definido como $A(\omega^1,\dots,\omega^k,X_1,\dots,X_l)(p) = A_p(\omega^1|_p,\dots,\omega^k|_p,X_1|_p,\dots,X_l|_p) \in \mathbb{R}$ . Así que $(k,l)$ -campo tensorial $A$ induce un mapa $$\tilde{A} : \underbrace{\mathfrak{X}^*(M)\times\cdots\times\mathfrak{X}^*(M)}_{k \text{ times}} \times \underbrace{\mathfrak{X}(M) \times \cdots \times \mathfrak{X}(M)}_{l \text{ times}} \longrightarrow C^{\infty}(M).$$ Un hecho importante es que este mapa es multilineal sobre $C^{\infty}(M)$ . Resulta que, de hecho, esto caracteriza a los campos tensores.

$\textbf{Tensor Characterization Lemma}$ ( Lee's Introduction to Smooth Manifolds ) Un mapa $$\begin{equation} \tau : \underbrace{\mathfrak{X}^*(M)\times\cdots\times\mathfrak{X}^*(M)}_{k \text{ times}} \times \underbrace{\mathfrak{X}(M) \times \cdots \times \mathfrak{X}(M)}_{l \text{ times}} \longrightarrow C^{\infty}(M) \qquad \color{blue}{(\star)} \end{equation}$$ es inducida por una $(k,l)$ como arriba si este mapa es multilineal sobre $C^{\infty}(M)$ .

En la demostración del lema anterior, el tensor induce a partir del mapa multilineal $\tau : \mathfrak{X}^*(M) \times \cdots \mathfrak{X}^*(M) \times \mathfrak{X}(M)\times \cdots \mathfrak{X}(M) \longrightarrow C^{\infty}(M)$ es un campo tensorial $A : M \to T^{(k,l)}TM$ definido como $$A_p(w^1,\dots,w^k,v_1,\dots,v_l):= \tau(\omega^1,\dots,\omega^k,X_1,\dots,X_l)(p)$$ donde $\omega^i\in\mathfrak{X}^*(M)$ es cualquier extensión suave de $w^i\in T^*_pM$ y $X_i \in \mathfrak{X}(M)$ es cualquier extensión suave de $v_i \in T_pM$ para cada $i$ (el mapa $A$ independiente de las extensiones).

Debido a este lema, a menudo identificamos $A$ con su mapa inducido $\tilde{A}$ .

En su caso, el mapa es $$\begin{equation} R : \mathfrak{X}(M)^* \times \mathfrak{X}(M) \times \mathfrak{X}(M) \times \mathfrak{X}(M) \rightarrow C^{\infty}(M) \end{equation}$$ definido como $$R(\omega,X,Y,Z) := \omega(\nabla_X\nabla_Y Z - \nabla_Y\nabla_X Z - \nabla_{[X,Y]}Z)$$ es define un $(3,1)$ -campo tensorial si puede demostrar que $R$ es lineal sobre $C^{\infty}(M)$ en cada argumento. Esto incluye el primer y el cuarto argumento, que no se han mencionado antes en los comentarios anteriores. El primer argumento es obvio $$R(f\omega,\cdot,\cdot,\cdot) = (f\omega)(\cdot) = f\,\omega(\cdot)$$ El segundo y el tercero y el cuarto es similar, se deduce de $$\begin{align*} \nabla_{fX_1+gX_2}&= f\nabla_{X_1} + g \nabla_{X_2} \quad \textbf{(Linearity)}\\ \nabla_X(fY) &= f\nabla_X Y + (Xf)Y \quad \textbf{(Leibniz Rule)}\\ [fX,Y] &= f[X,Y] -(Yf)X \end{align*}$$ Por ejemplo, $$\begin{align*} R(\omega,fX,Y,Z) &= \omega (\nabla_{fX} \nabla_Y Z - \nabla_Y \nabla_{fX} Z-\nabla_{[fX,Y]}Z) \\ &= \omega (f\nabla_X \nabla_Y Z - \nabla_Y (f\nabla_XZ ) - \nabla_{f[X,Y]-(Yf)X}Z) \\ &=\omega (f\nabla_X \nabla_Y Z - f\nabla_Y\nabla_XZ - \require{cancel}{\cancel{(Yf)\nabla_XZ}} - f\nabla_{[X,Y]} Z + {\cancel{(Yf)\nabla_XZ}}) \\ &= f R(\omega,X,Y,Z). \end{align*}$$

Este lema se utiliza a menudo implícitamente en los textos de geometría de Riemann. Puede ver la demostración en el libro de Lee ici p.318.

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Además del tipo de mapas en $\color{blue}{(\star)}$ anterior, otra forma similar de detectar un campo tensorial disfrazado es mediante este tipo de mapas $$\tau_0 : \underbrace{\mathfrak{X}^*(M)\times\cdots\times\mathfrak{X}^*(M)}_{k \text{ times}} \times \underbrace{\mathfrak{X}(M) \times \cdots \times \mathfrak{X}(M)}_{l \text{ times}} \longrightarrow \color{red}{\mathfrak{X}(M)}.$$ Si este mapa es multilineal sobre $C^{\infty}(M)$ entonces podemos definir un mapa $$\tau : \underbrace{\mathfrak{X}^*(M)\times\cdots\times\mathfrak{X}^*(M)}_{\color{red}{k+1 \text{ times}}} \times \underbrace{\mathfrak{X}(M) \times \cdots \times \mathfrak{X}(M)}_{l \text{ times}} \longrightarrow C^{\infty}(M)$$ como $\tau(\omega^{1},\dots,\omega^{k}, \omega^{k+1},X_1,\dots,X_l) = \tau_0(\omega^{1},\dots,\omega^{k},X_1,\dots,X_l)(\omega^{k+1})$ que también es multilineal sobre $C^{\infty}(M)$ . Por lo tanto $\tau_0$ inducida por una $(k+1,l)$ -(como su mapa inducido $\tau$ los induce en el Lemma de Caracterización Tensorial anterior) sif $\tau_0$ es multilineal sobre $C^{\infty}(M)$ . Otras variantes respectivas de $\tau_0$ puede deducirse de la misma manera.