Demostrar que si P y Q son matrices de permutación con $(P-I)(Q−I) = 0$ entonces representan permutaciones disjuntas.

Question

Antes de empezar permítanme aclarar que esta pregunta no es un duplicado de este que pide demostrar sólo la afirmación inversa.

Demostrar que si $P$ y $Q$ son matrices de permutación con $(P-I)(QI)=0$ entonces, representan permutaciones disjuntas

MI INTENTO :- Sean P y Q las matrices correspondientes a las permutaciones respectivas $p$ y $q$ en notación cíclica. Sea $p$ y $q$ no representan permutaciones disjuntas. Por ejemplo $p = (123)$ y $q=(345)$ Tenemos que $$ P = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \text{ and } Q = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$ Ahora $PQ$ siendo una permutación no tendrá dos $1$ en la misma fila. Pero $P+Q-I$ tienen dos $1$ y una $-1$ en la "tercera" fila, y $PQ\neq P+Q-I$ lo que equivale a $(P-I)(Q-I)\neq 0$ por lo que llegamos a una contradicción visual. ¿Pero no hay algún método claro para demostrarlo teóricamente?

Soy nuevo en la teoría de grupos. Por favor, pida aclaraciones en caso de discrepancias.

Answer 1

Pista: Sea $\pi$ denota la permutación correspondiente a $P$ y que $e_1,e_2,\dots,e_n$ denotan la base estándar de $\Bbb F^n$ . Supongamos que $\pi = \sigma_1\cdots \sigma_k$ es una descomposición en ciclos disjuntos (incluidos todos los "ciclos con longitud $1$ "). Sea $S_k = \{a_1,\dots,a_\ell\}$ donde $\sigma_k = (a_1 \cdots a_\ell)$ .

Tenga en cuenta que $\ker(P - I)$ está formada por los vectores $v_k = \sum_{j \in S_k} e_j$ . En particular, si $S_k = e_p$ entonces $e_p \in \ker (P-I)$ . Porque $P$ es ortogonal, tenemos $\operatorname{im}(P - I) = \ker(P - I)^\perp$ .

Answer 2

La suposición de que $PQ = P + Q - I$ es [a priori] más fuerte de lo que necesitamos. En su lugar, podemos simplemente trabajar con el supuesto de que la diagonal de $P+Q-I$ sólo tiene entradas en $\{0,1\}$ .

Si dejamos que $1 \leq k \leq n$ sea arbitraria y escriba $A_{kk}$ para la $k$ ª entrada diagonal de $A$ entonces $$\begin{align*}(P+Q)_{kk}-1 = (P&+Q-I)_{kk} \in \{0,1\} \\ &\iff (P+Q)_{kk} \in \{1,2\} \\ &\iff P_{kk} = 1 \text{ or } Q_{kk} = 1\end{align*}$$ donde la justificación de la última $\implies$ se debe a $P_{kk}, Q_{kk} \in \{0,1\}.$

Ahora estamos básicamente acabados. Que las matrices de permutación $P$ y $Q$ representan permutaciones disjuntas es equivalente a la afirmación de que, para cualquier $1\leq k\leq n,$ $$P_{kk} = 0 \implies Q_{kk} = 1 \\\text{ and } \\Q_{kk} = 0 \implies P_{kk} = 1,$$ que es lógicamente equivalente, ya que $P_{kk}, Q_{kk} \in \{0,1\}$ a $$P_{kk} = 1 \text{ or } Q_{kk} = 1$$

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Una nota final: Si $P,Q$ son matrices de permutación y la diagonal de $P+Q-I$ tiene entradas en $\{0,1\}$ entonces podemos demostrar $PQ = QP = P+Q-I,$ por lo que en realidad no se trata de un refuerzo/debilitamiento del teorema.

Answer 3

" $P$ y $Q$ son disjuntos" significa que para cada $i$ , $$ Pe_i \ne e_i \implies Qe_i = e_i\\ Qe_i \ne e_i \implies Pe_i = e_i $$ pero $$ Qe_i = e_j \ne e_i \implies 0 = (P-I)(Q-I)e_i=(P-I)(e_j-e_i) \\ \implies P(e_j-e_i) = e_j-e_i\implies Pe_i = e_i $$ y $$ Pe_i = e_j \ne e_i \implies 0 = (P-I)(Q-I)Q^Te_i=(P-I)(e_i -Q^Te_i) \\ \implies P(e_i-Q^Te_i) = e_j - PQ^Te_i = e_i-Q^Te_i\implies e_i = Q^Te_i\\ \implies Qe_i = e_i $$