¿Está libre de subconjuntos relevantes la distribución muestral de una estadística suficiente completa?

Question

Sea $T_{\theta}(\mathbf{x})$ ser un completo, suficiente estadística $T_{\theta}: \Omega \mapsto \mathbb{R}$ donde $T_{\theta}$ está indexado por el parámetro $\theta \in \mathbb{R}^n$ .

¿Es cierto que la distribución muestral de $T_{\theta}$ está libre de subconjuntos relevantes . Es decir, $P(T_{\theta}(\mathbf{x}) \in S \subset \mathbb{R}|\mathbf{x} \in Q \subset \Omega) = P(T_{\theta}(\mathbf{x}) \in S \subset \mathbb{R})$ ?

Ejemplo : Utilizamos una estadística fundamental para definir un $(1-\alpha)\%$ intervalo de confianza. Si la distribución de esta estadística tiene subconjuntos relevantes, entonces después de ver los datos $\mathbf{x}$ nos damos cuenta de que $\mathbf{x}$ cae en un subconjunto tal que los intervalos de confianza formados utilizando datos muestreados de este subconjunto tienen una cobertura de confianza diferente de la confianza incondicional $(1-\alpha)\%$ .

Si esto fuera cierto, significaría que las inferencias frecuentistas (especialmente los intervalos de confianza) tendrían un condicional nivel de confianza que es el mismo que el incondicional nivel de confianza, entre otras ventajas.

Answer 1

¿Puede aclarar la pregunta? Aunque su afirmación fuera cierta, no creo que de ella se dedujera que las inferencias frecuentistas (especialmente los intervalos de confianza) tendrán un nivel de confianza condicional igual al nivel de confianza incondicional . Eso porque existen contraejemplos, también para procedimientos de intervalos de confianza con propiedades óptimas (y basados en estadísticas suficientes), como $t$ -intervalos de confianza basados en el modelo normal iid.

Ese intervalo se basa en un pivote Eso es, $$ T=\frac{\bar{x}-\mu}{\sqrt{S^2/n}} $$ que, bajo los supuestos habituales, tiene una distribución conocida que no depende de los parámetros desconocidos. $T$ es una función de la estadística suficiente $(\bar{X},S^2)$ pero no es suficiente.

Las referencias de este resultado y la discusión de los subconjuntos pertinentes pueden encontrarse en el principio de verosimilitud, segunda edición . Algunos artículos relevantes son ici y ici