Grupo de Galois de la extensión $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}):\mathbb{Q}$ . ¿Por qué es así?

Question

En $4$ ª edición del libro de Ian Stewart Teoría de Galois es lo que estoy mirando donde hay un ejemplo enunciado de la siguiente manera

Sea la extensión del campo $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}):\mathbb{Q}$ . Ya hemos visto que $t^2-5$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ . Del mismo modo, $t^2-2$ i irreducible sobre $\mathbb{Q}(\sqrt{3},\sqrt{5})$ y $t^2-3$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{5})$ . Por tanto, hay tres automorfismos de $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5})$ que son,

\begin{equation} \begin{split} \rho_1:& \sqrt{2} \rightarrow -\sqrt{2} \text{ , }\sqrt{3} \rightarrow \sqrt{3} \text{ , } \sqrt{5} \rightarrow \sqrt{5}\\ \rho_2:& \sqrt{2} \rightarrow \sqrt{2} \text{ , }\sqrt{3} \rightarrow -\sqrt{3} \text{ , } \sqrt{5} \rightarrow \sqrt{5}\\ \rho_3:& \sqrt{2} \rightarrow \sqrt{2} \text{ , }\sqrt{3} \rightarrow \sqrt{3} \text{ , } \sqrt{5} \rightarrow -\sqrt{5} \end{split} \end{equation}

Es fácil ver que los mapas conmutan por lo que se genera el grupo $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 $ .

Bien, mi pregunta.

$1.$ En primer lugar, ¿cuáles son los elementos de $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5})$ ? La ley de la torre me lleva a decir que el grado de extensión $[\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}):\mathbb{Q}]=8$ . Por lo tanto, hay $8$ elementos como bases, ¿no? He encontrado que son $\beta=\{1,\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5},\sqrt{6},\sqrt{10},\sqrt{15},\sqrt{30}\}$ . Ahora, todos $\rho$ allí arriba, parece que sólo se preocupan por $\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}$ Puesto que buscamos $\mathbb{Q}$ -sobre $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5})$ Claro. $\rho$ no tocará ningún racional. Pero ¿por qué ignoran, digamos, un mapa como $\sqrt{30} \rightarrow -\sqrt{30}$ (mientras que todos los demás radicales se asignan a sí mismo, por ejemplo). ¿No deberíamos considerar "todos" los automorfismos como $\rho$ ? Entonces seguro que hay algo más que $3$ ?

$2.$ Y vale, digamos que has conseguido convencerme de que sólo existen aquellos $3$ $\rho$ está ahí arriba. Pero la siguiente confusión es, ¿cómo estos generan $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 $ ? Si he entendido bien la notación, $\mathbb{Z}_2 =\{e,x\}$ donde $e$ es la identidad y $x$ es alguna no-identidad. Comúnmente, lo veo como $\mathbb{Z}_2 = \{\bar{0},\bar{1}\}$ . Entonces, tomar productos directos debería darme un conjunto de $3$ -tuplas $\{(a,b,c): a,b,c \in \mathbb{Z}_2=\{\bar{0},\bar{1}\}\}$ así que algo como $(\bar{0},\bar{1},\bar{1})$ etc. Creo que hay $8$ distintos tales t $3$ -tuplas. Mi interpretación del ejemplo es que el Grupo de Galois de $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}):\mathbb{Q}$ es $\{id, \rho_1,\rho_2,\rho_3\}$ así que $4$ elementos. ¿Cómo va a generar esto $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ ? Estoy muy confundido.

En general, estoy empezando a aprender todo esto por lo que mi experiencia es muy limitada. Puedo estar confundiendo algún concepto matemático con otro (después de todo, las matemáticas saltan de una a otra definición "dependiendo del contexto") o simplemente malinterpretando una idea, noción, teorema, lo que sea. Términos difíciles como $K$ -automorfismos "sobre" $L$ hace que me detenga un segundo y compruebe en mi cabeza cuáles son exactamente las propiedades y su significado. Tal vez podría tener algún error allí.

Answer 1

(1) Los elementos de $K := \Bbb Q[\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}]$ son los de la forma $$a + b \sqrt{2} + c \sqrt{3} + d \sqrt{5} + e \sqrt{6} + f \sqrt{10} + g \sqrt{15} + h \sqrt{30},$$ correspondiente al hecho de que $[K : \Bbb Q] = 8$ es decir, que $K$ es un $8$ -sobre $\Bbb Q$ . Pero como campo $K$ se genera sobre $\Bbb Q$ por sólo $3$ elementos, a saber (por ejemplo) $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}$ y la acción de cualquier automorfismo $\sigma \in \operatorname{Gal}(K / \Bbb Q)$ viene determinada por su acción sobre éstos. Por ejemplo, $\sigma(\sqrt{30}) = \sigma(\sqrt{2} \sqrt{3} \sqrt{5}) = \sigma(\sqrt{2}) \sigma(\sqrt{3}) \sigma(\sqrt{5}).$

(2) Los automorfismos adicionales proceden de composiciones de $\rho_1, \rho_2, \rho_3$ . Por ejemplo, $\tau := \rho_1 \circ \rho_2$ se caracteriza por $\tau(\sqrt{2}) = - \sqrt{2}$ , $\tau(\sqrt{3}) = - \sqrt{3}$ , $\tau(\sqrt{5}) = \sqrt{5})$ . Dado que los tres generadores $\rho_i$ tener orden $2$ y conmutan entre sí, podemos escribir cualquier automorfismo como $\rho_1^{a_1} \rho_2^{a_2} \rho_3^{a_3}$ , $a_1, a_2, a_3 \in \{0, 1\}$ con lo que se obtienen ocho automorfismos en total.

Answer 2

Aunque es cierto que $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5})$ tiene esos 8 elementos como base tal y como los has enumerado, eso sólo te habla de la estructura del espacio vectorial.

La estructura del anillo también es importante. Como anillo, los tres elementos $\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}$ son generadores de $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5})$ . Por tanto, un automorfismo está determinado de forma única por las imágenes de esos tres generadores. Se puede calcular la imagen de $\sqrt{30}$ en cada uno de $\rho_1,\rho_2$ y $\rho_3$ sólo usando la información dada que dice dónde cada uno de estos automorfismos toma cada uno de los generadores. Por ejemplo, $$\rho_1(\sqrt{30}) = \rho_1(\sqrt{2}\sqrt{3}\sqrt{5}) = \rho_1(\sqrt{2}) \rho_1(\sqrt{3}) \rho_1(\sqrt{5}) = (-\sqrt{2})(\sqrt{3})(\sqrt{5}) = - \sqrt{30} $$

Para su segunda pregunta, la afirmación es que $\rho_1,\rho_2,\rho_3$ son automorfismos, no que sean los sólo automorfismos. De hecho, cada $\rho_i$ es el generador de un subgrupo cíclico de orden 2 del grupo de Galois, a saber $\{id,\rho_i\}$ (definitivamente no deberías ensillarte con notación elemental sobre grupos cíclicos de orden 2). Además, todo el grupo de Galois es el producto directo de esos tres subgrupos cíclicos de orden 2 (lo que aún está por demostrar), y por tanto todo el grupo de Galois está formado por los elementos $$\{id, \rho_1, \rho_2, \rho_3, \rho_1 \rho_2, \rho_1 \rho_3, \rho_2 \rho_3, \rho_1 \rho_2 \rho_3\} $$