En la demostración de la proposición 13.2.8 de Ireland y rosen consideran algunas $m$ y $m_0$ tal que $m=2m_0$ y $m_0$ es impar. A continuación, afirman que una primitiva $m_0$ raíz de la unidad es una primitiva $m$ raíz de la unidad. No veo esto.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Eso no es exactamente lo que dice.
Desde $m_0$ es impar, $$(-\zeta_{m_0})^{m_0}=(-1)^{m_0}\zeta_{m_0}^{m_0}=(-1)\cdot 1=-1$$ y así $$(-\zeta_{m_0})^{m}=(-\zeta_{m_0})^{2m_0}=1.$$
Para ver que de hecho $-\zeta_{m_0}$ es una primitiva $m$ raíz de la unidad, podemos proceder como sigue:
-
Por supuesto $\zeta_{m_0}^k\neq 1$ para cualquier $1\leq k\leq m_0-1$ y puesto que $m_0$ es impar, está claro que $\zeta_{m_0}^k\neq -1$ para cualquier $1\leq k\leq m_0-1$ de modo que $$(-\zeta_{m_0})^k=(-1)^k\zeta_{m_0}^k=\pm\zeta_{m_0}^k\neq 1$$ para cualquier $1\leq k\leq m_0-1$ .
-
Ya hemos demostrado anteriormente que $(-\zeta_{m_0})^{m_0}=-1\neq 1$ .
-
Para cualquier $m_0+1\leq k\leq 2m_0-1$ tenemos $$(-\zeta_{m_0})^k=(-\zeta_{m_0})^{m_0}(-\zeta_{m_0})^{\ell}=(-1)(-\zeta_{m_0})^{\ell}=\pm\zeta_{m_0}^{\ell}\neq 1$$ para $1\leq\ell=k-m_0\leq m_0-1$ (por el primer caso).
