¿Cuándo la recogida implica sustitución?

Question

En la teoría ordinaria de conjuntos basada en la pertenencia, el esquema axiomático de sustitución establece que si $\phi$ es una fórmula de primer orden, y $A$ es un conjunto tal que para cualquier $x\in A$ existe un único $y$ tal que $\phi(x,y)$ entonces existe un conjunto $B$ tal que $y\in B$ sólo si $\phi(x,y)$ para algunos $x\in A$ . Es decir, $B$ es la "imagen" de $A$ bajo la "función de clase definible" $\phi$ .

Los esquema axiomático de la colección lo modifica al no exigir $y$ para ser único, pero sólo exigiendo $B$ para contener algunos $y$ para cada $x$ en lugar de todos ellos. Sin embargo, existen al menos dos versiones diferentes.

1. Si para todos $x\in A$ existe un $y$ con $\phi(x,y)$ entonces existe un conjunto $B$ tal que para todo $x\in A$ hay un $y\in B$ con $\phi(x,y)$ (esto es Wikipedia versión; la llamaré "colección débil").

2. Si para todos $x\in A$ existe un $y$ con $\phi(x,y)$ entonces existe un conjunto $B$ tal que (1) para todo $x\in A$ hay un $y\in B$ con $\phi(x,y)$ y (2) para todo $y\in B$ hay un $x\in A$ con $\phi(x,y)$ (Lo llamaré "colección fuerte").

El tercer axioma posiblemente relevante es el esquema axiomático de separación que establece que para cualquier $\phi$ y cualquier conjunto $A$ existe un conjunto $B\subseteq A$ tal que $x\in B$ sólo si $x\in A$ y $\phi(x)$ .

Conozco las siguientes implicaciones entre estos axiomas:

• La recopilación fuerte implica la recopilación débil, ya que tiene las mismas hipótesis y una conclusión más fuerte.
• La recogida fuerte implica la sustitución, ya que tiene una hipótesis más débil y la misma conclusión.
• La sustitución implica la separación (suponiendo un medio excluido): aplique la sustitución a la fórmula "( $\phi(x)$ y $y=\lbrace x\rbrace$ ) o ( $\neg\phi(x)$ y $y=\emptyset$ )" y tomar la unión del conjunto resultante.
• Junto con la CA y la fundación, la sustitución implica una recogida débil: dejemos que $\psi(x,V)$ afirmar que $V=V_\alpha$ es el nivel más pequeño de la jerarquía de von Neumann tal que existe un $y\in V_\alpha$ con $\phi(x,y)$ aplicar la sustitución a $\psi$ y tomar la unión de todas las resultantes $V_\alpha$ .
• La recopilación débil y la separación implican conjuntamente una recopilación fuerte: la separación elimina el subconjunto de $B$ consistente en $y$ tal que $\phi(x,y)$ para algunos $x\in A$ .

Mi pregunta es: ¿implica la colección débil la sustitución (y, por tanto, también la separación y la colección fuerte) sin suponer que se cumple la separación? a priori ? Siéntase libre de asumir todas las otros axiomas de ZFC (incluyendo $\Delta_0$ -separación). Estoy bastante seguro de que la respuesta es "no", pero varias fuentes que he leído parecen asumir que sí. ¿Alguien puede dar una respuesta definitiva y, a ser posible, una referencia?

Answer 1

La respuesta es no, si me permites adoptar algunas formas débiles pero equivalentes de los otros axiomas. Y la razón es interesante:

• Un número impactante de axiomas de la teoría de conjuntos son ciertos en la recta real no negativa R + , utilizándose el orden habitual < para interpretar la pertenencia a un conjunto. (!)

Vamos a comprobarlo. Por ejemplo, la Extensionalidad se cumple, porque si dos números reales tienen los mismos predecesores, entonces son iguales. El axioma de conjunto vacío se cumple, ya que no hay reales no negativos por debajo de 0. El axioma de Unión se cumple, ya que para cualquier real x, los reales menores que x son precisamente los reales que son menores que algo menor que x. (Por lo tanto, cada conjunto es su propia unión. ) Se cumple una versión debilitada de los axiomas del conjunto Potencia, el conjunto Potencia Propia, que afirma que para todo x, existe un conjunto p cuyos elementos son los sustitutos estrictos de x. Esto se debe a que para cualquier número real x, los reales menores que x son precisamente los reales y (distintos de x), todos cuyos predecesores son menores que x. (Así, cada real es su propio conjunto de potencias.) Un debilitamiento alternativo del conjunto de potencias diría: para cada x, hay p tal que y subconjunto x implica y en p. Esto es cierto en los reales usando cualquier p > x. Un axioma de emparejamiento debilitado afirma de forma similar: para cada x,y, hay z con x ε z e y ε z. Esto es cierto en los reales usando cualquier z por encima tanto de x como de y. El axioma de Fundación no es un problema, ya que 0 está en cada conjunto no vacío. También, de forma similar AC se mantiene en la forma sobre familias de conjuntos no vacíos disjuntos, ya que esto nunca ocurre en este modelo. El Axioma de Colección Débil se cumple ya que si cada y < x tiene phi(x,y,w), entonces de hecho cualquier y en el mismo intervalo funcionará (ya que esta estructura tiene muchos automorfismos), y así podemos recoger testigos con cualquier B por encima de x y w. Nótese que la Separación falla, ya que, por ejemplo, {0} no existe en este modelo. También falla la Sustitución por la misma razón.

Se pueden construir modelos interesantes similares considerando la estructura (ORD,<) construida utilizando sólo ordinales, o la clase { V _α | α en ORD }. Estos también satisfacen todas las formas debilitadas de los axiomas ZFC sin Separación, utilizando Colección en lugar de Sustitución.

Por tanto, parte de la respuesta a tu pregunta es que depende de lo que entiendas por "otros axiomas de ZFC".

Aparte de esto, sin embargo, permítame decir que el término Colección Débil se utiliza normalmente para referirse a los axiomas que restringen la complejidad de las fórmulas en el esquema de Colección habitual, más que al axioma que usted afirma. Por ejemplo, en la teoría de conjuntos KP de Kripke Platek, un fragmento débil de ZFC, se tiene colección sólo para las fórmulas Sigma_1, y esto se describe como axioma de Colección Débil. (Lo que usted llama Colección Débil se suele llamar simplemente Colección.) Y hay una versión debilitada correspondiente de Separación en KP.

Pero me complace adoptar aquí su terminología. Usted ha afirmado que AC más Sustitución implica Recogida Débil, pero esto no es del todo correcto. Usted no necesita ninguna CA. En su lugar, como demuestra su argumento, lo que necesita es la acumulación de V _α jerarquía, que se basa en el axioma del conjunto de potencia, no en AC. Es decir, si se dispone de Sustitución y Conjunto de potencias y de otros elementos suficientes para construir la jerarquía V _α jerarquía, entonces obtienes la Recaudación como has descrito, incluso si falla la CA. Por ejemplo, ZF puede axiomatizarse de forma equivalente con Colección o Sustitución.

Tu pregunta es un poco inusual, ya que normalmente la Separación se considera un axioma más fundamental que la Sustitución y la Colección, y más acorde con lo que entendemos por teoría de conjuntos. Después de todo, si uno tiene un conjunto A y una propiedad phi(x), particularmente cuando phi es muy simple, una de las construcciones más básicas de la teoría de conjuntos es ser capaz de formar { x en A | phi(x) }, y cualquier teoría de conjuntos que viole esto no es muy set-like. Realmente no queremos considerar modelos de teoría de conjuntos en los que fallan muchos casos de Separación (por ejemplo, la Separación para la fórmula atómica es seguramente elemental).

Por cierto, existe otra versión de un debilitamiento de la Recaudación en la misma línea que la que usted está considerando. A saber, considere el esquema de afirmaciones, siempre que phi(x,y) es una propiedad, que dice que para cada conjunto A, hay un conjunto B tal que para cada a en A, si hay b con phi(a,b), entonces hay b en B tal que phi(a,b).

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Bien, permítame ahora darle una respuesta positiva, con lo que creo que es una interpretación más sensata de su pregunta. Considero que lo que he dicho antes (y el comentario de Dorais) muestra que no deberíamos considerar teorías de conjuntos en las que el axioma de separación falla por completo. Más bien, lo que queremos es alguna teoría de conjuntos muy débil, como la Kripke Platek axiomas, y luego preguntar la relación entre Colección Débil y Reemplazo sobre esos axiomas. Y aquí se obtiene el resultado positivo deseado.

Teorema. Si se cumple KP, entonces la Recogida Débil implica la Sustitución.

Pruebas. Supongamos KP más Colección (Débil). En primer lugar, afirmo que esto es suficiente para probar una versión del Principio de Reflexión, ya que esa prueba equivale a tomar sucesivos cascos de Skolem ascendentes, que es lo que permite la Colección. Es decir, afirmo que para cada conjunto x y cualquier fórmula phi, existe un conjunto transitivo Y tal que x en Y y phi(w) es absoluto entre Y y el universo V. Esto, en efecto, convierte cualquier fórmula en un Delta ₀ mediante el parámetro Y.

Aplicando esto, supongamos que tenemos un conjunto A y cada a en A tiene un único b tal que phi(a,b). Por el Principio de Reflexión, sea Y un gran conjunto transitivo que contenga a tal que phi(a,b) y "existe b phi(a,b)" sean absolutos entre Y y V. Entonces Y tiene todos los testigos b deseados para a en A. Pero además, ahora { b | existe a en A phi(a,b) } es un Delta ₀ subconjunto definible de Y, ya que podemos limitar el cuantificador de nuevo por Y. Así que el conjunto existe. Así que la sustitución es válida. QED

Creo que podemos salirnos con la nuestra con mucho menos que KP. Tal vez una manera de hacer el argumento es sólo para demostrar la separación por inducción sobre la complejidad de las fórmulas. Uno puede recoger testigos por (débil) Colección, y esto convierte las fórmulas en menor complejidad, utilizando el nuevo límite como un límite en los cuantificadores.