¿Viven las variedades hiperKahler en familias cuaterniónicas-Kahler?

Question

Una pregunta sobre geometría en la que pensé más seriamente hace unos años... pensé que sería una buena primera pregunta para MO.

Soy consciente de que hay una serie de teoremas de tipo Torelli ahora demostrados para las variedades HyperKahler compactas. Además, creo que Y. Andre ha considerado algunas familias de variedades HyperKahler (u holomorfas simplécticas) en algún artículo.

Pero, cuando veo que se estudia un problema de módulos de este tipo, los datos de una colector HyperKahler parecen incluir una estructura compleja preferente. Por ejemplo, una variedad HyperKahler se considera en cambio como una variedad simpléctica holomorfa. Conozco varias equivalencias, pero ciertamente hay diferentes cantidades de datos que uno podría elegir como parte de un problema de módulos.

Nunca he visto familias de variedades de HyperKahler en las que se distinga adecuadamente entre rotaciones de HyperKahler y otras variaciones. Esto es lo que tengo en mente, para una "familia cuaterniónica-Kahler de variedades HyperKahler":

Fijar un espacio base cuaterniónico-Kahler $X$ con haz torsor $Z \rightarrow X$ . Así, las fibras $Z_x$ de $Z$ en $X$ son sólo esferas de Riemann $P^1(C)$ y $Z$ tiene una estructura compleja integrable.

A familia de variedades hiperKahler en $X$ debería ser (creo) una fibración de colectores complejos $\pi: E \rightarrow Z$ tal que:

1. Cada fibra $E_z = \pi^{-1}(z)$ es una variedad hiperKahler $(M_z, J_z)$ con estructura compleja integrable distinguida $J_z$ .
2. Para cada punto $x \in X$ , dejemos que $Z_x \cong P^1(C)$ sea la fibra twistor. Entonces la familia $E_x$ de variedades hiperKahler con estructura compleja sobre $P^1(C)$ debe ser (isomorfa a) la familia $(M, J_t)$ obtenida fijando una única colector hiperKahler, y dejando que la estructura compleja varíe en el $P^1(C)$ de posibles estructuras complejas. (Creo que esto se llama rotación hiperKahler).

En otras palabras, la verdadera variedad hiperKahler sólo debería depender de un punto del espacio base cuaterniónico de Kahler $X$ pero la estructura compleja debe "girar" en la cubierta twistor $Z$ .

Este tipo de familia me parece muy natural. ¿Puede algún geómetra profesional precisar mi definición, dar una referencia o alguna razón por la que tales familias sean una mala idea? Me encantaría ver este tipo de familias, incluso para los tori de HyperKahler (¡en los que estaba interesado en un principio!).

Answer 1

Lo que sugieres tiene sentido. Propone sustituir el $P^1$ fibra por la espacio twistor de una variedad HK M, de modo que el gran espacio total no sólo mostraría por separado las estructuras complejas de M, sino que permitiría parametrizar las deformaciones de M mediante X. Creo que la verdadera cuestión es si existen ejemplos sensatos sobre una base QK compacta como X $=S^4$ en la que, por tanto, no es posible una elección coherente de la estructura compleja en las variedades de HK. No estoy seguro. El problema es que la construcción parece un poco engorrosa, y la experiencia dicta que es más natural buscar haces cuyas fibras sean HK. En este sentido, tu idea se parece mucho a una construcción conocida (pero en cierto sentido más sencilla) que se conoce como "haz de Swann" o "mapa C".

Permítame añadir dos comentarios en apoyo de su pregunta. En primer lugar, el concepto de colector foliado por colectores HK (como $T^4$ o K3) es muy potente. Esto es más familiar en el trabajo sobre holonomía especial, pero aquí hay una construcción más clásica: el tensor de curvatura en cada punto de un 4-manifold riemanniano se puede utilizar para construir una superficie singular de Kummer y un K3 asociado (la intersección de 3 cuádricas en $P^5$ ), pero la estructura compleja es fija, por lo que no es twistorial. En segundo lugar, escapando de los cuaterniones, se ve fibras espaciales twistor en la siguiente situación: cada fibra del espacio torsor $SO(2n+1)/U(n)$ parametrización de a.c.s. en la esfera $S^{2n}$ puede identificarse con el espacio torsor de $S^{2n-2}$ ¡!