Suma de variables aleatorias iid

Question

Sea $X_1, X_2,...,X_n$ sean variables aleatorias iid. Sea $Z_1, Z_2, Z_3$ definirse como $X_1, X_1+X_2, X_1+X_2+X_3$ respectivamente. Son $Z_1, Z_2$ y $Z_3$ ¿también iid?

La pregunta se basa en los procesos de renovación. Si las duraciones entre llegadas son iid, ¿los tiempos de llegada también son iid?

Answer 1

Supongamos que $E[X_i]=0$ . Si esto no es cierto, entonces simplemente reste la media, es una constante, por lo que no cambiará nada.

Para variables aleatorias independientes $Cov[Z_nZ_{n-1}]=E[Z_nZ_{n-1}]=0$ .

Evaluar el lado izquierdo $$E[Z_nZ_{n-1}] =E[(Z_{n-1}+X_n)Z_{n-1}] =E[X_nZ_{n-1}]+E[Z^2_{n-1}] =E[Z^2_{n-1}]>0 $$ Así que.., $Z_n$ no es independiente de $Z_{n-1}$ .

En este caso, utilizamos $E[X_nZ_{n-1}]=0$ porque $X_n$ es independiente de todos los $X_i$ .

Answer 2

Esta respuesta pretende complementar esta excelente respuesta analítica . A menudo me gusta comprobar numéricamente las cosas para visualizarlas rápidamente.

Una simulación rápida muestra lo siguiente no puede ser cierto en general. Sea $X_i \stackrel{iid}{\sim} \text{Uniform}(0,1)$ .

Con 10000 muestras, está claro que $Z_i$ no son i.i.d.

A continuación se muestra código MATLAB:

% MATLAB R2018a
n = 10000;   % sample size
% Generate samples from Xi ~ U(0,1)
X1 = rand(5000,1);
X2 = rand(5000,1);
X3 = rand(5000,1);

% Get Zi
Z1 = X1;
Z2 = X1 + X2;
Z3 = X1 + X2 + X3;

Si dos variables aleatorias $Y_1$ & $Y_2$ son independientes, su correlación será cero. Sabemos que lo contrario no siempre es cierto (por ejemplo, una correlación nula hace no implican independencia).

% Check correlation for Xi's (should be approx zero)    
% Cx(i,j) = corr(Xi,Xj)
Cx = ones(3);
Cx(1,2) = corr(X1,X2); Cx(2,1) = Cx(1,2);
Cx(1,3) = corr(X1,X3); Cx(3,1) = Cx(1,3);
Cx(2,3) = corr(X2,X3); Cx(3,2) = Cx(2,3);

% Check correlation for Zi's (are they even close to zero?)
Cz = ones(3);
Cz(1,2) = corr(Z1,Z2); Cz(2,1) = Cz(1,2);
Cz(1,3) = corr(Z1,Z3); Cz(3,1) = Cz(1,3);
Cz(2,3) = corr(Z2,Z3); Cz(3,2) = Cz(2,3);

% Visually inspect distributions
figure
s(1)= subplot(1,3,1)
    histogram(Z1,'Normalization','pdf','FaceColor','r')
s(2) = subplot(1,3,2)
    histogram(Z2,'Normalization','pdf','FaceColor','b')
s(3) = subplot(1,3,3)
    histogram(Z3,'Normalization','pdf','FaceColor','g')

% Cosmetics   
ylabel(s(1),'PDF')
for k = 1:3
    xlabel(s(k),['Z' num2str(k)])
    s(k).XLim = [0 4];
    s(k).YLim = [0 1.2];
end