Probablemente me estoy perdiendo algo obvio, pero me he estado preguntando cuál es la motivación para requerir los componentes $A_\mu$ en una trivialización local de una conexión gauge sobre un principal liso $G$ -bundle to lie in $\mathfrak{g}$ el álgebra de Lie de $G$ . Puedo ver que esto da un par de buenas propiedades; por ejemplo, en una trivialización local asegura que bajo una transformación gauge $A'_\mu=gA_\mu g^{-1}+g\partial_\mu g$ se encuentra en $\mathfrak{g}$ y que la forma de curvatura $F=dA+A\wedge A$ se encuentra en $\mathfrak{g}$ (ya que $\mathfrak{g}$ es cerrado bajo el corchete de Lie). Pero, ¿existe alguna razón más intrínseca o geométrica para que $A_\mu$ debe estar en $\mathfrak{g}$ ? Gracias.
Respuestas
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En primer lugar, nunca me ha gustado trabajar con paquetes principales; los paquetes vectoriales me parecen más fáciles y naturales. En segundo lugar, nunca me ha gustado pensar en principales abstractos. $G$ -bundles. Prefiero fijar una representación de $G$ y viendo el principal $G$ como un haz de tramas reducido asociado a un haz vectorial.
Así que $E$ sea un rango $k$ haz vectorial y $F$ el haz de fotogramas arbitrarios en $E$ (se trata de un principal $GL(k)$ -bundle). Entonces $GL(k)$ actúa a la derecha en $F$ . Dado un subgrupo $G$ sur $GL(k)$ , dejemos que $F_G$ sea un subconjunto de $F$ tal que si $f \in F_G$ entonces también lo es $f\cdot g$ para cada $g \in G$ .
El principal ejemplo es $E = T_*M$ y $F_G$ es el haz de bases ortonormales del espacio tangente con respecto a una métrica riemanniana.
¿Cuál es la propiedad crítica que queremos que $G$ -¿conexión para satisfacer? Bueno, cualquier conexión permite trasladar paralelamente un marco arbitrario $f \in F$ a lo largo de una curva. Nos gustaría que el $G$ -sea tal que si $f \in F_G$ la traducción paralela permanece en $F_G$ . Esto nos lleva a la definición correcta de $G$ -conexión.
PabloG
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Como señala Mariano en su comentario, esto se deduce de la definición de una conexión sobre un principio $G$ -paquete $\pi: P \to M$ .
En cada $p \in P$ el núcleo de $\pi_* : T_pP \to T_{\pi(p)}M$ define el subespacio vertical de $T_pP$ . Llamémoslo $V_p$ . Está atravesado por los campos vectoriales fundamentales de la $G$ -acción sobre $P$ . Como esta acción es libre, las fibras son espacios homogéneos principales y, por tanto $V_p$ es isomorfa al álgebra de Lie $\mathfrak{g}$ . Una conexión (à la Ehresmann) es una elección equivariante de subespacio horizontal $H_p$ complementario a $V_p$ . Por lo tanto, puede definirse como el núcleo de una forma 1 $\theta$ con valores en la representación adjunta de $G$ (a partir de la equivarianza del subespacio horizontal).
El campo gauge de tu pregunta es entonces el pullback a través de una sección local de esa conexión 1-forma. Por tanto, localmente es una 1-forma en $M$ con valores en el álgebra de Lie $\mathfrak{g}$ .
Así que la razón por la que el campo gauge es $\mathfrak{g}$ -es la equivarianza de la conexión (en el sentido de Ehresmann).
Si entonces se pregunta por qué se impone la equivocidad, una respuesta es que es la condición natural en este contexto, pero quizá otra persona tenga una razón más convincente.
Nir
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18250
Siempre me ha parecido útil pensar primero en las geometrías de Cartan: son menos "abstractas" que los haces principales y arrojan nueva luz sobre cosas como la geometría de Riemann.
Para una buena introducción, véase
http://www.emis.de/journals/SIGMA/2009/080/sigma09-080.pdf
(¡busca el hámster en la página 4!) o el siguiente bonito libro
http://www.amazon.com/Differential-Geometry-Generalization-Erlangen-Mathematics/dp/0387947329
Rakesh Juyal
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203
No estoy seguro de los orígenes matemáticos, pero la motivación física original fue el intento de Yang y Mills de tratar la simetría SU(2) aproximada de los nucleones (protones y neutrones). El gran paso fue (según tengo entendido) cuando Gell-Mann (y Ne'eman, independientemente, más o menos al mismo tiempo) se dio cuenta de que un diagrama que etiquetaba partículas observadas experimentalmente era el diagrama de pesos para SU(3). Hizo algunas predicciones en una conferencia:
tras la presentación de Strong de partículas extrañas por G. A. Snow, tanto Ne'eman como Gell-Mann levantaron la mano para pedir permiso para hablar. El Presidente llamó a Gell-Mann, que era el físico más físico más eminente de los dos, y [...] deberíamos buscar la última partícula llamada, digamos, Ω-, con S=-3, I=0. [A 1685 MeV sería metaestable y debería decaer. sería metaestable y debería decaer por interacción débil [...]"
y el resto era el óctuple camino .
Por supuesto, el director $G$ -Los paquetes y sus conexiones ya existían desde mucho antes (Simons señaló este hecho a Yang más adelante).
