¿Qué es la $1111^{2222}\pmod9$ ?

Question

Hallar el resto al dividir $1111^{2222}$ por $9$ .

Primero me gustaría confirmar que mi solución es correcta. Dado que $\varphi(9)=6$ y $2222=6\times370+2$ tenemos por el teorema de Euler

$$1111^{2222}\equiv1111^2\mod9$$

En $1111=9\times123+4$ se deduce que

$$1111\equiv4\mod9\implies1111^{2222}\equiv1111^2\equiv16\equiv7\mod9$$

¿Es correcta esta solución? (El razonamiento, es decir, no la respuesta que he verificado con una calculadora). Este es el primero de varios ejercicios relacionados con el pequeño teorema de Fermat/Euler y me gustaría saber si hay algo raro en lo que he aplicado o en qué punto lo he aplicado.

Segundo, más por curiosidad: ¿Existen otras soluciones (¿tal vez más rápidas?)?

Answer 1

Su solución es correcta. Una solución más rápida quizás que es algo equivalente sería:

$$ 1111^{2222}\equiv 4^{2222} \pmod{9} $$

desde $1111\equiv 10^3+10^2+10+1\equiv 1+1+1+1\equiv 4 \pmod{9}$ como se dice en los comentarios.

Sabemos que $4^3 \equiv 64\equiv 1 \pmod 9$ y $$4^{2222}\equiv 4^{3\cdot 740 + 2}\equiv (4^3)^{740}\cdot 4^2\equiv 1^{740}\cdot 16\equiv 16 \equiv 7 \pmod 9$$

Answer 2

Tu respuesta y tu trabajo son correctos. Puede utilizar Wolfram Alpha para comprobar tu respuesta.

En cuanto a soluciones más rápidas, no se me ocurre ninguna, pero hay trucos entre las matemáticas de las congruencias que pueden ayudar, como la regla mencionada en los comentarios por @Daniel Schepler de que un número es congruente con la suma de sus dígitos mod. $9$ .