Si $(m_1,m_2)=D$ , $(a,m_1)=d_1$ , $(b,m_2)=d_2$ entonces $(am_2+bm_1, m_1m_2)=?$

Question

Sabemos que si $(m_1,m_2)=(a,m_1)=(b,m_2)=1, \iff (am_2+bm_1, m_1m_2)=1$

Ahora intento generalizar.

Sea $(a,m_1)=d_1, (b,m_2)=d_2$ donde $d_1,d_2$ no tiene por qué ser 1.

$(am_2+bm_1, m_1m_2)$

$=(am_2+bm_1, m_1)(am_2+bm_1, m_2)\ as\ (m_1,m_2)=1$

$=(am_2, m_1)(bm_1, m_2)$

$=(a, m_1)(b, m_2)\ as\ (m_1,m_2)=1$

Así que.., $(am_2+bm_1, m_1m_2)=(a, m_1)(b, m_2)$

Ahora, quiero hacer $(m_1,m_2)=D$ donde D no es necesariamente 1.

Sea $\frac{a}{A}=\frac{m_1}{M_1}=d_1$ y $\frac{b}{B}=\frac{m_2}{M_2}=d_2$ ,

así que $(A,M_1)=1$ y $(B,M_2)=1$

$(am_2+bm_1, m_1m_2)=d_1.d_2(AM_2+BM_1, M_1M_2)=(a,m_1)(b,m_2)(AM_2+BM_1, M_1M_2)$

Ahora dejemos que $\frac{M_1}{M_{11}}=\frac{M_2}{M_{22}}=D_{12}$ es decir, $(M_1,M_2)=D_{12}$

Así que.., $(M_{11},M_{22})=1$

entonces $(am_2+bm_1, m_1m_2)$

$=(a,m_1)(b,m_2)D_{12}(AM_{22}+BM_{11}, M_{11}M_{22}D_{12})$

$=(a,m_1)(b,m_2)(M_1,M_2)(AM_{22}+BM_{11}, M_{11}M_{22}D_{12})$

Pero, este $D_{12}$ no es necesariamente coprimo con $M_{11}$ ou $M_{22}$ .

Así que no pude seguir adelante.

Answer 1

Primera parte:

Tenemos ambos $$ (am_2+bm_1,m_1m_2)=d_1d_2\,\left(\frac{a}{d_1}\!\!\frac{m_2}{d_2}+\frac{b}{d_2}\!\!\frac{m_1}{d_1} ,\frac{m_1}{d_1}\!\!\frac{m_2}{d_2}\right)\tag{1} $$ y $$ (am_2+bm_1,m_1m_2)=D\,\left(a\frac{m_2}{D}+b\frac{m_1}{D} ,m_1\frac{m_2}{D}\right)\tag{2} $$ Ecuaciones $(1)$ y $(2)$ demuestre que $$ \mathrm{lcm}(d_1d_2,D)\,\vert\,(am_2+bm_1,m_1m_2)\tag{3} $$

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Segunda parte:

Desde $(m_1,m_2)=D$ , dejemos que $$ m_1x+m_2y=D\tag{4} $$ Desde $(a,m_1)=d_1$ , dejemos que $$ au_1+m_1v_1=d_1\tag{5} $$ Desde $(b,m_2)=d_2$ , dejemos que $$ bu_2+m_2v_2=d_2\tag{6} $$ Ahora, $(4)$ y $(5)$ rendimiento $$ \begin{align} (am_2+bm_1)y+m_1(ax-by)&=aD\\ (am_2+bm_1)u_1+m_1(m_2v_1-bu_1)&=m_2d_1 \end{align}\tag{7} $$ y $(4)$ y $(6)$ rendimiento $$ \begin{align} (am_2+bm_1)x+m_2(by-ax)&=bD\\ (am_2+bm_1)u_2+m_2(m_1v_2-au_2)&=m_1d_2 \end{align}\tag{8} $$ Utilizando $(7)$ y Bezout, podemos escribir $$ (am_2+bm_1)w_1+m_1z_1=(aD,m_2d_1)\tag{9} $$ Utilizando $(8)$ y Bezout, podemos escribir $$ (am_2+bm_1)w_2+m_2z_2=(bD,m_1d_2)\tag{10} $$ Así, tomando el producto de $(9)$ y $(10)$ produce $$ (am_2+bm_1)w+m_1m_2z_1z_2=(aD,m_2d_1)(bD,m_1d_2)\tag{11} $$ y por lo tanto, $(11)$ y Bezout producen $$ (am_2+bm_1,m_1m_2)\,\vert\,(aD,m_2d_1)\,(bD,m_1d_2)=d_1d_2D^2\,\left(\frac{a}{d_1},\frac{m_2}{D}\right)\,\left(\frac{b}{d_2},\frac{m_1}{D}\right)\tag{12} $$

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Conclusión:

Lo mejor que se me ha ocurrido hasta ahora es $$ \mathrm{lcm}(d_1d_2,D)\,\vert\,(am_2+bm_1,m_1m_2)\,\vert\,d_1d_2D^2\,\left(\frac{a}{d_1},\frac{m_2}{D}\right)\,\left(\frac{b}{d_2},\frac{m_1}{D}\right)\tag{13} $$