convergencia de la integral impropia de $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\tan^\alpha (x)dx$ para $\alpha>0$

Question

Convergencia de la siguiente integral impropia para $\alpha>0$ : $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\tan^\alpha (x)\mathrm{d}x$$

He utilizado la sustitución $x=1/t$ para que el argumento tienda a cero: $$ \int_{\frac{2}{\pi}}^{+\infty }\left |\tan^\alpha\left(\frac{1}{t}\right)\frac{1}{t^{2}}\right |dt \leqslant \int_{\frac{2}{\pi}}^{+\infty } \frac{1}{t^{\alpha +2}} $$ que convergen para $\alpha+2<1 \Rightarrow \alpha>-1$ creo que es correcto pero en wolfram alpha converge para $\alpha<1$ así que le pregunto qué hay de malo en mi solución

Answer 1

En $$I(\alpha)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\tan^\alpha (x)\,dx$$ deje $x=\tan ^{-1}(t)$ hacer $$I(\alpha)=\int_{0}^{\infty}\frac{t^{\alpha }}{t^2+1}\,dt$$ En $t=0$ ya existe un problema puesto que $$\frac{t^{\alpha }}{t^2+1}=\left(1-t^2+O\left(t^4\right)\right) t^{\alpha }\sim t^{\alpha }$$ . Alrededor del infinito, el integrando es $\sim t^{\alpha-2 }$ y su integral es $\sim t^{\alpha-1 }$ .

Esto daría $$I(\alpha)=\frac{\pi}{2} \sec \left(\frac{\pi \alpha }{2}\right)\qquad \text{if} \qquad -1<\Re(\alpha )<1$$

Answer 2

El integrando es $\sim x^\alpha$ en pequeño $x>0$ pero $\sim(\pi/2-x)^{-\alpha}$ cuando $\pi/2-x$ es pequeño pero positivo. Estas observaciones proporcionan respectivamente las restricciones de convergencia $\Re\alpha>-1,\,\Re(-\alpha)>-1$ Así que $-1<\Re\alpha<1$ es necesaria y suficiente. Esto concuerda con la respuesta de @ClaudeLeibovici, sin necesidad de susbtitución.