Diferencia entre las "funciones" del cálculo y las "funciones" de las transformaciones lineales

Question

La palabra función en cálculo se refiere a algo como $f(x) = x^2+2x^3$ ou $f(x) =\sin(x) $ etc....

En álgebra lineal, la palabra función se utiliza como- Una transformación lineal es una función de $V \rightarrow W$ .

Y el funciones de cálculo como $f(x) = x^2+2x^3$ ou $f(x) =\sin(x) $ etc. son en realidad vectores en un espacio polinómico ( $f(x) = x^2+2x^3$ ) o un espacio de función ( como $f(x) =\sin(x) $ ) .

Ahora la palabra función en Álgebra Lineal se utiliza dos veces como he mostrado anteriormente.

Así que según yo el funciones del cálculo son sólo vectores en álgebra lineal. ¿Es esto correcto o no?

Pero entonces, ¿cuáles son los funciones en la definición de las transformaciones lineales. ¿Y en qué se diferencian de las funciones de cálculo y la funciones que son vectores en álgebra lineal.

Edita:

¿Por qué la gráfica de una transformación lineal de cualquier espacio vectorial a cualquier otro espacio vectorial no es siempre una línea recta? ¿Puede alguien dar algún contraejemplo?

Answer 1

Una función se define como una relación entre dos conjuntos que asigna un elemento de un conjunto a exactamente uno del otro conjunto. Para su ejemplo $f(x) = x^{2} + 2x^{3}$ el elemento $x$ en el dominio se asigna al elemento del codominio $x^{2} + 2x^{3}$ .

En su ejemplo de álgebra lineal, su dominio se denota $V$ y su codominio se denota $W$ .

Una transformación lineal es un tipo específico de función que requiere una restricción adicional: $f(cx + y) = cf(x) + f(y)$ . Ambos son ejemplos de funciones, pero esta restricción impuesta a los mapas lineales puede o no ser válida para las funciones en general.

Las transformaciones lineales pueden representarse gráficamente, pero suelen representarse como campos vectoriales; la gráfica de una transformación lineal no se parecería a la típica función uno a uno del cálculo.

Answer 2

La respuesta corta es: El contexto importa.

La palabra "función" aparece en muchas (si no en todas) las diferentes ramas de las matemáticas, donde la cualidad que tienen en común es que una función $f\colon X\to Y$ es una correspondencia entre conjuntos.

En Cálculo, a menudo pensamos en las funciones como mapeos de un subconjunto de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ que satisfacen alguna condición de regularidad (continua, diferenciable, analítica, medible, integrable...), y a veces suponemos implícitamente que la función de la que estamos hablando tiene esas propiedades deseadas.

En álgebra lineal, las "funciones" que consideramos son mapas lineales de un espacio vectorial $V$ a otro espacio vectorial $W$ . Así pues, en muchos casos, si una afirmación empieza por "Que $f\colon V\to W$ sea una función", suele significar un mapeo lineal.

En Topología, una función $f\colon X\to Y$ suele significar una cartografía continua entre dos espacios.

En cuanto a lo que has dicho: sí, es cierto que las funciones $f\colon A\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ ¡son vectores abstractos de algún espacio!

Así que, resumiendo: una función es un mapeo entre conjuntos, pero dependiendo del contexto, a ese mapeo se le pueden exigir algunas propiedades adicionales.

Como nota al margen, a algunas personas les gusta reservar el concepto "función" para las correspondencias con codominio $\mathbb{R}$ (o un campo en general) y llamar a todo lo demás "mapa". Así, una transformación lineal $f\colon \mathbb{R}^{2}\to \mathbb{R}$ se denomina función, y una transformación lineal $f\colon \mathbb{R}^{2}\to \mathbb{R}^{2}$ puede llamarse simplemente mapa.

Edición: digamos que tiene $y=ax+b$ donde $a$ y $b$ son números reales. Esa ecuación define un mapa $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ dada por $f(x)=ax+b$ . Este mapa es una "función" en el sentido del cálculo (y tiene prácticamente todas las propiedades deseables). También es un mapa entre espacios vectoriales, pero puede no ser lineal (si $b\neq 0$ no lo es), por lo que no se consideraría una "función interesante" entre espacios vectoriales (es un mapa afín, para ser exactos).

Aún así, es un vector de muchos espacios vectoriales: por ejemplo, está en los siguientes espacios:

$$V=\{\text{Polynomials in one variable}\}$$ $$W=\{\text{Mappings from } \mathbb{R} \text{ to itself}\}$$ $$F=\{\text{Affine maps from }\mathbb{R}\text{ to itself}\}$$

Answer 3

Generalmente funcionan $f=(F,A,B)$ se define por el triple, donde $A$ , $B$ son conjuntos, $F$ es el grafo funcional y el dominio $pr_1F=A$ .