¿Existen $4$ conjuntos tales que la suma de los dos números sea igual?

Question

Para cada conjunto de $117$ diferente $3-$ números naturales de un dígito, ¿podemos elegir $4$ conjuntos disjuntos con $2$ elementos $A,B,C,D$ con la identidad:¿las sumas de los dos números de cada conjunto son iguales?

¿Cómo puedo comprobarlo?

Me he atascado ahora mismo...

¿Podría darme una pista?

Answer 1

A partir del requisito de que cada uno de los conjuntos $A,B,C,D$ debe tener dos elementos, supongo que suma de dos elementos de un conjunto significa 'suma de dos elementos distintos de un conjunto'. De lo contrario, la solución a continuación se puede modificar en consecuencia.

La menor suma posible es 100+101=201 y la máxima suma posible es 998+999=1997. Pero no toda suma es expresable como suma de cuatro pares distintos desordenados. Por ejemplo, 205=100+105=101+104=102+103 -- sólo tres pares. La menor suma expresable como suma de cuatro pares distintos desordenados es 207(=103+104) y la máxima es 1991(=995+996). Por lo tanto, el número de sumas que son expresables como suma de al menos cuatro pares distintos desordenados es 1991-206=1785.

Sea $S$ sea el subconjunto de todas las sumas posibles de 117 números distintos de tres cifras. Pueden darse las siguientes sumas con sus máximas multiplicidades.

sum -- multiplicidad

• 201 -- 1
• 202 -- 1
• 203 -- 2
• 204 -- 2
• 205 -- 3
• 206 -- 3
• 207 -- 4 o 4+
• ...
• 1991 -- 4 o 4+
• 1992 -- 3
• 1993 -- 3
• 1994 -- 2
• 1995 -- 2
• 1996 -- 1
• 1997 -- 1

Por lo tanto, hay $\binom{117}{2}-24=6774$ sumas expresables como suma de al menos cuatro pares desordenados distintos. Tenemos $\frac{6774}{1785}=3.79$ (hasta dos dígitos). Por el principio de encasillamiento, debe haber cuatro pares no ordenados distintos con la propiedad requerida. Entre los cuatro pares ordenados distintos, no puede haber pares desordenados de la forma $(a,b)$ y $(a,c)$ donde $c\ne b$ como $a+b\ne a+c$ . Por lo tanto, para dos pares desordenados cualesquiera (cuatro pares ordenados distintos), $(m,n)$ y $p,q$ tenemos $m\ne p,m\ne q,n\ne p,n\ne q$ . Por lo tanto, tenemos cuatro conjuntos de tamaño 2, cada uno de los cuales contiene los elementos de cuatro pares desordenados respectivamente.