Soy relativamente nuevo en el campo de las matrices aleatorias, y sospecho que esto puede ser relativamente conocido.
Considere la $N$ x $N$ matriz $O$ con entradas normales estándar i.i.d., y considere la siguiente combinación
$$M = \cos(\theta)\left(\frac{O+O^T}{2}\right)+\sin(\theta)\left(\frac{O-O^T}{2}\right)$$
para $\theta$ sur $[0,\pi/2]$ . ¿Cuál es la densidad límite de los valores propios de $M/\sqrt{N}$ ?
Hay algunos valores agradables de $\theta$ para los que existen resultados de libro de texto.
$\theta=0$ corresponde a un $GOE$ matriz cuyos valores propios son puramente reales y se distribuyen entre $-\sqrt{2}$ y $\sqrt{2}$ según Wigner $\rho(x) = \frac{1}{\pi}\sqrt{2-x^2}$ .
$\theta=\pi/4$ corresponde a una matriz con entradas aleatorias normales para la que los valores propios siguen la distribución circular de Girko; es decir, los valores propios complejos se distribuyen uniformemente dentro del disco de radio $1/\sqrt{2}$ . Aunque el número de puntos que se encuentran exactamente en el eje real crece con $N$ la fracción de estos puntos acaba desapareciendo.
$\theta=\pi/2$ corresponde a una matriz antihermitiana con valores propios imaginarios que siguen el semicírculo de Wigner en el eje imaginario.
(Nótese que el semicírculo de Wigner y el círculo de Girko se refieren a objetos diferentes; el primero a la forma de la densidad y el segundo a la frontera del soporte de la densidad).
Numéricamente, los valores propios para valores genéricos de $\theta$ caen uniformemente en una elipse que interpola las distintas leyes anteriores. Empíricamente, el diámetro horizontal de la elipse parece ser $2\sqrt{2} \cos(\theta)^2$ mientras que el diámetro vertical es $2\sqrt{2} \sin(\theta)^2$ . A continuación se muestran algunos gráficos de dispersión de los valores propios de $M$ para un único $N=1000$ instancia de $O$ :
Estoy dispuesto a aceptar referencias o cálculos (potencialmente heurísticos) que deriven la densidad asintótica de los valores propios.
