Duda sobre la regla de Leibnitz para la diferenciación bajo el signo integral.

Question

Definición (tal como aparece en mi libro de texto):

Si la función $\phi(x)$ y $\tau(x)$ se definen en $[a,b]$ y son diferenciables en un punto $x\in(a,b)$ y $f(x,t)$ es continua, entonces: $${d\over dx}{\left( \int_{\tau(x)}^{\phi(x)}f(x,t)dt\right)}=\int_{\tau(x)}^{\phi(x)}{\partial\over\partial x}{f(x,t)dt}+\underbrace{\left(d^{\phi(x)}\over dx \right)f^{(x,\phi(x))}-\left(d^{\tau(x)}\over dx \right)f^{(x,\tau(x))}}$$

No entiendo la notación utilizada en los dos últimos términos: ¿qué significa $d^{\phi(x)}\over dx$ y $f^{(x,\phi(x))}$ Además, agradecería que alguien pudiera resolver un problema utilizando la definición anterior.

Answer 1

$\def\red#1{{\color{red}{#1}}}$ Parece algún error tipográfico en su libro de texto, tenemos

Si la función $\phi(x)$ y $\tau(x)$ se definen en $[a,b]$ y son diferenciables en un punto $x\in(a,b)$ y $f(x,t)$ es continua, entonces: $${d\over dx}{\left( \int_{\tau(x)}^{\phi(x)}f(x,t)dt\right)}=\int_{\tau(x)}^{\phi(x)}{\partial\over\partial x}{f(x,t)dt}+\underbrace{\left(d\red{\phi(x)}\over dx \right)f\red{(x,\phi(x))}-\left(d\red{\tau(x)}\over dx \right)f\red{(x,\tau(x))}}$$

Un ejemplo: Veamos $$ F(x) = \int_{x^2}^{x^3} tx \, dt $$ Por un lado, tenemos $$ F(x) = \left[\frac{t^2 x}{2}\right]_{x^2 }^{x^3} = \frac 12(x^7-x^5) $$ de ahí $$ F'(x) = \frac 72 x^6 - \frac 52 x^4 $$ También podemos utilizar la fórmula anterior, con $$ f(t,x) = tx, \quad \tau(x)= x^2, \quad \phi(x) = x^3 $$ Dar $$ F'(x) = \int_{x^2}^{x^3} t\, dt + 3x^2\cdot x\cdot x^3 - 2x \cdot x \cdot x^2 = \frac 12(x^6 - x^4) + 3x^6 - 2x^4 = \frac 72 x^6 - \frac 52 x^4 $$