$\mathbb{R}[Q_8]$ no es un álgebra de división

Question

Dado el grupo Quaternion $$Q_8=\{\pm1,\pm i,\pm j,\pm k\}$$ con el producto: $1$ es la unidad, $-1$ conmuta con todos los elementos, $(-1)^2=1$ y $i^2=j^2=k^2=ijk=-1.$ El anillo de grupo $\mathbb{R}[Q_8]$ tiene dimensión $8$ (como álgebra sobre $\mathbb{R}$ ). Los elementos de $Q_8$ todos tienen inversos multiplicativos. ¿Por qué no es un álgebra de división sobre $\mathbb{R}$ ?

La solución fácil es: tal álgebra de división tiene dimensión $1$ , $2$ o $4$ (teorema de Frobenius).

¿Puede demostrarse esto sin utilizar el teorema de Frobeniu sobre álgebras de división de los números reales?

Answer 1

Hay formas extremadamente sencillas de verlo.

Se puede observar que los anillos de grupo casi nunca son anillos simples .

Otra cosa buena para tu caja de herramientas para grupos finitos $G$ es que si $G$ tiene un subgrupo normal no trivial, $\mathbb R[G]$ ni siquiera es un dominio. El grupo de cuaterniones tiene, por decirlo suavemente, muchos subgrupos normales.

Para ver esto, observe que la suma de elementos en un subgrupo normal no trivial finito crea un idempotente central no trivial que divide el anillo en dos trozos. Si el subgrupo normal $H$ tenía orden $k$ entonces $\frac1k\sum_{h\in H}h$ es un idempotente central. En consecuencia $eR\oplus (1-e)R$ divide el anillo en el producto de dos anillos. O más sencillamente, $e(1-e)=0$ demuestra que hay divisores cero.

Esto sólo se basa en $|H|$ siendo una unidad en el anillo de coeficientes. Todavía hay algunos trucos relacionados con esto en anillos de característica positiva, pero ya es más que suficiente para este problema. Si el orden del subgrupo es divisor de la característica del anillo, entonces la suma de los elementos del subgrupo es nilpotente, y tampoco es un dominio (o anillo de división) en ese caso.