Suma de los números sin cubo $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{|\mu_{2}(k)|}{k^{s}}$

Question

He encontrado una fórmula para $\mu_{2}(n)$ y no estoy seguro de si esta fórmula es igual a la función de Mobius generalizada de Apostol o Función de Popovici .

No soy muy conocedor del trabajo de estas 2 personas, por lo que me gustaría algo de ayuda para averiguar si lo que tengo es lo mismo que lo que ellos han creado. Estoy más seguro de que lo que he encontrado no es igual a la de Apostol, pero no estoy seguro acerca de la función de Popovici.

Quizá no sean lo mismo si hay más de una forma de calcular el abajo, es decir, la suma de los recíprocos de los números sin cubo (elevados a una potencia mayor que 1):

$$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{|\mu_{2}(k)|}{k^{s}}=\frac{\zeta(s)^2}{\zeta(2s)^2}.$$

Esto es lo que tengo (mi versión de $\mu_{2}$ ):

$$\mu_{2}(n)=\begin{cases} 1, & \text{if $n$=1} \\ (-2)^{k_{1}}, & \text{if $n$ is cube-free with $k_{1}$ single prime factors} \\ 0, & \text{if $n$ is not cube-free}. \end{cases}$$

En cuanto a los 2 resultados mencionados:

Popovici (1963) definió una función de Mobius generalizada $\mu_{k}=\mu\cdot ...\cdot \mu$ ser el $k$ -convolución de Dirichlet de la función de Mobius consigo misma. Por lo tanto, es de nuevo una función multiplicativa con:

$\mu_{k}(p^a) = (-1)^a \binom{k}{a}$

Para Apostol, por favor haga clic en el enlace (demasiado problema para escribir sus ecuaciones aquí, las tiene en la primera página): http://emis.ams.org/journals/AUSM/C1-2/math2-4.pdf

Answer 1

La función Popovici $\mu_2$ es multiplicativo con $\mu_2(1)=\mu_2(p^0)=\dots=1$ , $\mu_2(p)=-2$ , $\mu_2(p^2)=1$ y $\mu_2(p^a)=0$ para $a\ge3$ . Por lo tanto, $\mu_2(n)=(-2)^r$ si $n$ está libre de cubos y hay $r$ primos $p$ tal que $p$ divide $n$ pero $p^2$ no divide $n$ mientras que $\mu_2(n)=0$ si $n$ no está libre de cubos. Esto concuerda con la fórmula para $\mu_2$ en la pregunta, siempre que "factores primos únicos" signifique primos $p$ tal que $p$ divide $n$ pero $p^2$ no divide $n$ .