Demuestre que para cada número entero $n$ hay un múltiplo de $n$ que sólo tiene $0s$ y $1s$ en su expansión decimal.

Question

¿Puede alguien explicarme este ejemplo? He intentado entenderlo pero no lo consigo.

El problema:

Demuestre que para todo número entero n existe un múltiplo de n que sólo tiene 0s y 1s en su expansión decimal.

La solución del libro:

Sea $n$ sea un número entero positivo. Considere la $n + 1$ números enteros $1, 11,$ $111, ..., 1111, ...$ (donde el último entero de esta lista es el entero con $n + 1$ $\ 1s$ en su expansión decimal). Tenga en cuenta que son $n$ posibles restos al dividir un número entero por $n$ . Porque hay $n + 1$ enteros en esta lista, por el principio de encasillamiento debe haber dos con el mismo resto cuando se divide por $n$ . El mayor de estos enteros menos el menor es múltiplo de $n$ , que tiene una expansión decimal formada enteramente por $0s$ y $1s$ .

Este problema de Matemáticas discretas y sus aplicaciones para Rosen

Answer 1

Supongamos que $n=3$ . Consideremos los cuatro números $1$ , $11$ , $111$ y $1\,111$ . ¿Cuáles son los restos de la división de estos números por $3$ ? Son $1$ , $2$ , $0$ y $1$ respectivamente. El resto $1$ aparece dos veces (correspondientes a los números $1$ y $1\,111$ ). Entonces, $1\,111-1(=1\,110)$ es múltiplo de $3$ .

La misma idea funciona con todos los $n$ .

Answer 2

Voy a ir a través de la solución de libros para $n=12$ . Esto debería convencerte en general.

Considere la $13$ números $1; 11;111;1111;11111;111111;1111111;11111111;111111111;1111111111;11111111111;111111111111;1111111111111;$

Hay trece números. Cada uno de ellos tiene un resto cuando se divide por $12$ . Sólo hay doce de estos restos, por lo que al menos dos de ellos deben ser iguales.

Los restos son:

$1;11;3; 7;11;3;7;11;3;7;11;3;7$ .

Muchos de ellos son iguales. Por ejemplo $1111$ tiene resto $7$ . Así que $1111 = 12k + 7$ para algunos $k$ (resulta que $1111= 12*92+7$ ) y $1111111$ también tiene restos $7$ . Así que $1111111 = 12j + 7$ para algunos $j$ (resulta que $1111111 = 12*92592 + 7$ ).

Eso significa $1110000=11111111 -1111 = (12*j + 7)-(12k +7) = 12j -12k = 12(j-k)$ y es múltiplo de $12$ .

En este caso $1110000 =1111111-1111 = (12*92592 + 7)-(12*92 + 7) = 12(92592-92) = 12(92500)$

En realidad, podríamos haberlo hecho en el primer resto repetido.

$11$ y $11111$ ambos tienen resto $11$ . $11= 0*12 + 11$ y $11111 = 12*925 + 11$ . así que $11111-11 = 11100 = (12*925+11) -(0*12+11) = 12(925-0) = 12*925$ .

Ans para que podamos seguir añadiendo $0$ s y multiplicar be $10$ ....

Más complicado sería $111111111111$ y $111111111$ ambos tienen $7$ como restos y $111111$ y $111$ tienen $3$ como restos. Así que $111111111111= 12*j+7$ y $111111111=12*k + 7$ y $111111=12*m+3$ y $111=12*n+3$ así que

$111111111111-111111111+111111-111 = 111000111000 = (12j+7)-(12k+7)+ (12m+3)-(12n+3) = 12(j-k+m-n)$ y de hecho. $\frac {111000111000}{12} = 9250009250$