Dada una categoría $C$ y una familia de co-cono en $C$ (se puede tomar todo colimit cocone en $C$ si quieres - la familia ni siquiera tiene que ser pequeña) hay una topología más pequeña en $C$ de modo que las poleas para esta topología envían estos coconos a conos límite.
El detalle de la construcción que figura a continuación también debería dar alguna respuesta a su pregunta 1.
Para cada uno de los cocones especiales $F:I^\triangleright \to C$ consideramos el mapa $colim_I F \to F(*)$ en la categoría $P(C)$ de presheaves sobre $C$ . Una prehoja envía este cocono a un colímite si y sólo si es ortogonal derecha a este mapa. Una topología de Grothendieck es lo mismo que una localización exacta a la izquierda de $P(C)$ por lo que buscamos la localización exacta izquierda más pequeña que invierta estos mapas.
Una topología de Grothendieck invierte un mapa $f:X \to Y$ si y sólo si invierte los dos monomorfismos $Im(f) \to Y$ y $X \to X \times_Y X$ e invierte un monomorfismo $A \hookrightarrow X$ si y sólo si para cada representable $c$ y cada mapa $c \to X$ (que cada elemento de $X(c)$ ) el Tamiz en $c$ como pullback de $A \to X$ es un tamiz de cobertura.
Así que, juntando todo, decir que alguna clase de mapas $colim_I F \to F(*)$ es invertida por la topología (es decir que sheaves envía el cocono correspondiente a un cono límite) puede escribirse como un hecho que un montón de sieve son sieve de cobertura. y por lo tanto hay una topología más pequeña que satisface estas condiciones. (la topología de Grothendieck generada por esos tamices).
Por supuesto, esta topología no tiene por qué ser subcanónica en general. Por ejemplo, suponiendo que la categoría $C$ tiene pullback, esta topología al ser subcanónica implica en particular que los colímites en $C$ son universales (y esto probablemente no sea suficiente).
