Semiaditividad y dualizabilidad de 2

Question

Versión corta : Sea (C, ⊗, 1) una categoría monoidal simétrica cerrada localmente presentable con objeto cero, y escribamos 2 = 1 1. Supongamos que el objeto 2 tiene un dual. ¿Se deduce que C es una categoría con biproductos?

Versión más larga, con motivación : Sea (C, ⊗, 1) una categoría monoidal simétrica cerrada localmente presentable. Si no sabes lo que significa "localmente presentable", puedes sustituir estas condiciones por "categoría simétrica monoidal completa y cocompleta en la que ⊗ conmuta con colímites en cada variable". Algunos ejemplos conocidos son (Set, ×, -), (Set _* , ∧, S 0 ) (la categoría de conjuntos puntiformes con el producto smash), y (Ab, ⊗, ℤ). Cualquier categoría C de este tipo tiene un único functor "unitario" F _C : Conjunto → C preservando colímites y el objeto unidad: el conjunto S es enviado al coproducto en C de S copias de 1. Para un entero no negativo n, permítaseme también escribir n para la imagen bajo este functor del conjunto de n elementos. Por ejemplo, 0 representa el objeto inicial de C.

A doble para un objeto X de C es otro objeto X * junto con los mapas 1 → X ⊗ X * y X * ⊗ X → 1 que satisfacen las identidades triangulares; véase wikipedia para más detalles. Los datos de X * junto con estos mapas es único hasta un isomorfismo único si existe, por lo que tiene sentido preguntarse si un objeto tiene un dual o no.

Me interesa la relación entre qué objetos de la imagen de F _C tienen duales y la existencia de estructuras más familiares en C. En nuestros ejemplos,

• C = Conjunto: Sólo 1 tiene un dual.
• C = Conjunto _* : Sólo 1 y 0 = - tienen duales.
• C = Ab: n tiene un dual para cualquier número entero no negativo n.

Es fácil demostrar que 1 es siempre su propio dual, y algo menos trivialmente, que 0 tiene un dual si 0 es también un objeto final, es decir, C tiene un objeto cero, o equivalentemente C está enriquecido en Conjunto . Además, si C es semiaditivo es decir, enriquecido en monoides conmutativos, o equivalentemente tiene biproductos, entonces n tiene un dual (de hecho, n es su propio dual) para cada entero no negativo n. A la inversa, si 0 tiene un dual, de modo que C es puntiagudo, y 2 también tiene un dual, entonces existe un mapa canónico 2 = 1 1 → 1 × 1 = 2 * . Mi pregunta, entonces, es: ¿es este mapa siempre un isomorfismo? O, ¿podría ocurrir que 2 \ existe pero no es isomorfo a 2 a través de este mapa?

Answer 1

Es cierto que en un cosmos $\mathcal{V}$ (= una categoría cerrada simétrica monoidal completa y cocompleta) con objeto cero donde $2$ tiene un dual, el mapa canónico $1+1 \rightarrow 1\times 1$ es invertible. En otras palabras, ni siquiera es necesario suponer que $\mathcal{V}$ es localmente presentable. Creo que esto implica que el cosmos en cuestión es semiaditivo, lo que a su vez implica que los coproductos/productos son biproductos (lo único que hay que observar es que $C\otimes 1\times 1 \cong C\times C$ lo que se deduce del hecho de que $1\times 1$ es el dual de $1+1$ ).

Demostrar esto es un poco demasiado complicado para MO (porque no hay una buena manera de dibujar diagramas de cuerdas aquí). He escrito un argumento, que se puede encontrar aquí ( Wayback Machine ). Primero demuestro que una categoría monoidal simétrica autónoma (autónoma significa que todos los objetos tienen duales) en la que el coproducto $1+1$ existe es semiaditivo.

Puedo intentar dar alguna intuición para el argumento en cuestión. La idea clave es que uno quiere construir un mapa diagonal $1 \rightarrow 1+1$ . La forma de hacerlo se inspira en el siguiente documento:

André Joyal, Ross Street y Dominic Verity (1996). Traced monoidal categories. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 119 , pp 447-468 doi:10.1017/S0305004100074338

En mi escrito, este "mapa diagonal" es el mapa $1\rightarrow 1+1$ en los diagramas de cadena que se construye a partir de un "bucle" y el mapa $1+1 \rightarrow (1+1) \otimes (1+1)$ que llamé $h$ . De la fórmula dada en la introducción del artículo de Joyal, Street y Verity se deduce que mi construcción da efectivamente el mapa diagonal en el caso en que $\mathcal{V}$ es el cosmos de los espacios vectoriales sobre algún campo.

Edición: actualizado el enlace caducado.