Utilizando la regla de la cadena para calcular $\frac{\partial{z}}{\partial{s}}$ dado $z=x^2y$ , $x=sin(st)$ , $y = t^2+s^2$

Question

Estoy familiarizado con la regla de la cadena cuando es como tal: Tienes una función z=f(x,y), f es diferenciable y x=g(t) e y=h(t).

cuando ese es el caso sé que tenemos $\frac{dz}{dt}=\frac{\partial{z}}{\partial{x}}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial{z}}{\partial{y}}\frac{dy}{dt}$

Desde $\frac{\partial{z}}{\partial{s}}$ no es un término de la regla de la cadena, ¿cómo podría usarlo para encontrar esto?

Answer 1

En su caso, puesto que $x=g(s,t)$ y $y=h(s,t)$ y $z=z(x,y)$ se puede decir que $$ z=z(s,t) $$ y utiliza la regla de la cadena para calcularlo. Tendrás $$ \dfrac{\partial z}{\partial s} = \dfrac{\partial z}{\partial x}\dfrac{\partial x}{\partial s} + \dfrac{\partial z}{\partial y}\dfrac{\partial y}{\partial s} = 2xyt\cos(st) + 2x^2s. $$ y en esta última ecuación se puede sustituir $x$ y $y$ para $t$ y $s$ .