Evaluar la integral $\int \frac{x}{a+bx^3}\ dx$

Question

¿Cómo resuelvo la integral de esta forma? $\displaystyle\int \frac{x}{a+bx^3}\ dx$ ?

Answer 1

Fracción parcial : en forma general ,escríbela l y encuentra A,B,C $$\frac{x}{a+bx^3}= \\ \frac{x}{(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}x)((\sqrt[3]{a})^2+(\sqrt[3]{b}x)^2-(\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}x))}=\\ \space \\ \frac{A}{(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}x)}+\frac{Bx+C}{((\sqrt[3]{a})^2+(\sqrt[3]{b}x)^2-(\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}x))} $$ entonces tendrás parte logaritmo + parte log o arctan (depende de a,b)

Answer 2

$$ a+bx^3 = (\sqrt[3]a +x\sqrt[3]b)(\sqrt[3]a^2 - x\sqrt[3]a\sqrt[3]b + x^2\sqrt[3]b^2) $$

Así que usa fracciones parciales: $$ \frac x {a+bx^3} = \frac C {\sqrt[3]a +x\sqrt[3]b} + \frac {Dx+E} {\sqrt[3]a^2 - x\sqrt[3]a\sqrt[3]b + x^2\sqrt[3]b^2} $$