Sea $X \in [a,b]$ satisfacer $\mathbb{E}[\exp(-X)]=1$ . Prueba $\mathbb{E}[X] \le \frac18(b-a)^2$ .

Question

Me gustaría demostrar la siguiente conjetura.

Conjetura. Sea $X$ sea una variable aleatoria medible soportada en el intervalo $[a,b]$ . Si $\mathbb{E}[\exp(-X)]=1$ entonces $\mathbb{E}[X] \le \frac18 (b-a)^2$ .

Esto está relacionado con Lemma de Hoeffding que muestra $\mathbb{E}[\exp(tX)] \le \exp(t\mathbb{E}[X] + \frac18 t^2 (b-a)^2 )$ para todos $t \in \mathbb{R}$ .

Si combinamos la conjetura con el lema de Hoeffding, tenemos $$X \in [a,b] \wedge \mathbb{E}[\exp(-X)]=1 ~\implies~ \forall t \in \mathbb{R} ~~ \mathbb{E}[\exp(tX)] \le \exp\left(\frac18(b-a)^2 t (t+1)\right). ~ (*)$$

La hipótesis $\mathbb{E}[\exp(-X)]=1$ es un poco impar. Dice que la implicación en $(*)$ es válido para $t=-1$ . (También se cumple trivialmente para $t=0$ .) Nótese que, por la desigualdad de Jensen, $\exp(-\mathbb{E}[X]) \le \mathbb{E}[\exp(-X)] \le 1$ lo que implica $\mathbb{E}[X] \ge 0$ . Intuitivamente, $\mathbb{E}[\exp(-X)] \ge 1$ implica que $X$ debe tener mucha masa de probabilidad cerca $0$ o por debajo de $0$ . (Por lo demás $X \gg 0$ implica $\exp(-X) \approx 0$ .) Y esta intuición es lo que formaliza la conjetura.

Answer 1

Aplicando directamente el lema citado, encontramos que $$\mathbb E(\exp(-X))=1\le\exp\left(-\mathbb E(X)+\frac 1 8 (-1)^2(b-a)^2\right)$$

Tomar el logaritmo de ambos lados

$$0\le-\mathbb E(X)+\frac 18(b-a)^2$$

Añadir $\mathbb E(X)$ a ambas partes.

Donde se combinó la conjetura con el Lemma de Hoeffding, creo que no se puede concluir $\exp(t\mathbb E(X))\le\exp\left(t(\frac18 (b-a)^2)\right)$ porque $t\in\mathbb R$ por lo que no se cumple si $t<0$ .