Módulos unidimensionales (phi,Gamma) en char p

Question

Me gustaría comprender mejor el caso más sencillo de la correspondencia entre representaciones de Galois y módulos (phi,Gamma). A saber, consideremos representaciones de Galois unidimensionales de $G_{Q_p}$ en $F_p$ que se corresponden con módulos etale (phi,Gamma) unidimensionales sobre $F_p((T))$ .

Hay un número finito de tales representaciones de Galois. Además, sus módulos (phi,Gamma) asociados son muy sencillos -- la acción de phi y Gamma puede describirse (en algún elemento base) como escalada por un elemento de $F_p$ (a diferencia de $F_p((T))$ ).

Mi pregunta: ¿se puede ver esto directamente en el lado del módulo (phi,Gamma)? Es decir, dado un etale unidimensional (phi,Gamma)-módulo $D$ en $F_p((T))$ encuentra un $D'$ isomorfo $D$ tal que $D'$ tiene una base en la que las matrices para phi y los elementos de Gamma están en $F_p^\times$ .

Answer 1

Vale... creo que ya sé cómo hacerlo. Al final, estoy viendo $(p-1)^2$ distinto $(\phi,\Gamma)$ -que concuerda bien con el lado de Galois.

Para ello $D$ sea cualquier etale unidimensional $(\phi,\Gamma)$ -módulo. Sea $e$ sea una base y $\phi(e)=h(T)e$ con $h(T) \in F_p((T))^\times$ . Escriba a $h(T) = h_0 T^a f(T)$ con $h_0 \in F_p^\times$ y $f(T) \in F_p[[T]]$ con $f(0)=1$ .

Cambio de base de $e$ a $u(T)e$ con $u(T) \in F_p((T))^\times$ da $$ \phi(u(T)e) = u(T^p)h(T)e = \frac{u(T^p)}{u(T)} h(T) (u(T)e). $$ Afirmo que se puede encontrar $u(T)$ tal que $u(T)/u(T^p)$ es igual a cualquier elemento de $1+TF_p[[T]]$ . En efecto, para tal elemento $g(T)$ el producto infinito $\prod_{j=1}^\infty \phi^j(g(T))$ (que es de esperar que converja, ya que $g(0)=1$ ) funciona.

Por lo tanto, podemos cambiar la base de modo que $\phi$ tiene la forma $\phi(e) = h_0 T^a e$ -- es decir, podemos acabar con el $f(T)$ plazo. Además, al realizar un cambio de base de la forma $e$ va a $T^b e$ podemos suponer que $0 \leq a < p-1$ .

Ahora, utilizamos el hecho de que el $\phi$ y $\Gamma$ (que es una condición fuerte incluso en dimensión 1). A saber, sea $\gamma$ sea un generador de $\Gamma$ y fijar $\gamma e = g(T) e$ . Entonces $\gamma \phi e = \phi \gamma e$ implica $$ ((1+T)^{\chi(\gamma)}-1)^a g(T) = g(T^p) T^a. $$ Comparando los coeficientes principales, vemos que esto sólo es posible si $a=0$ y $g(T)$ es una constante.

Así, $D$ tiene una base $e$ para que $\phi(e) = h_0 e$ y $\gamma(e) = g_0 e$ con $h_0,g_0 \in F_p^\times$ como desee.

¿Te parece bien? ¿Algún interesado en el caso bidimensional?

Answer 2

La correspondencia requiere la $(\phi,\Gamma)$ -para que tenga la propiedad \'etale para su subyacente $\phi$ -y desempeña un papel esencial en la demostración de la correspondencia (véanse los artículos originales de Fontaine, o las notas de clase de la escuela de verano del CMI sobre $p$ -de Hodge, por ejemplo). Así que supongo que te refieres a imponer la propiedad \'etale. Pero incluso para la representación trivial (de dimensión 1) las acciones de $\phi$ y $\Gamma$ son más complicados que $\mathbf{F}_p^{\times}$ -escalas relativas a una base adecuada. ¿Quiere preguntar por qué en una base adecuada el $(\phi,\Gamma)$ -módulos asociados a potencias del mod $p$ carácter ciclotómico se relacionan con el caso del carácter trivial mediante un "giro de Tate" en el $(\phi, \Gamma)$ -¿Lado del módulo? Si es así, véase el ejemplo 13.6.6 en los apuntes de la escuela de verano CMI (que trata de $\mathbf{Z} _p(r)$ de forma más general, para cualquier $p$ -campo ácrata $K$ y puede pasar a mod $p$ versión allí de la misma manera para llegar al caso por el que pregunta).

Mirando hacia atrás en el borrador actual de las notas, ahora veo un error tipográfico en las notas allí (creo que $\chi^t$ al final debe ser $\chi^r$ ). Será mejor que lo arregle para el borrador final, así que ¡gracias por hacer la pregunta, Rob!

Answer 3

¡Hola Rob! Quizás quieras echar un vistazo a "Représentations triangulines de dimension 2" de Colmez ( aquí ). Está trabajando con (φ, Γ)-módulos sobre Q _{<em>p </em>} (me refiero al anillo Robba de Q _{<em>p </em>} ) no F _{<em>p </em>} (( T )). Pero demuestra que todo módulo unidimensional (φ, Γ) sobre Q _{<em>p </em>} viene dado por a p -carácter δ de $\mathbf{Q}_p^\times$ con la acción de φ sobre un vector base dado por δ(p) y la acción de $\gamma\in\Gamma$ dado por $\delta(\chi(\gamma))$ (con $\chi$ el $p$ -carácter ciclotómico adádico). Véase la sección 2 y la proposición 3.1 en particular del artículo de Colmez (en el que también describe la $H^1$ de estas unidimensionales $(\phi,\Gamma)$ -).

EDIT: mirando el documento de Colmez, parece que la forma en que él sabe que todo esto es unidimensional $(\phi,\Gamma)$ -es mediante el uso de la equivalencia de catgeories con representaciones de Galois, así que supongo que esto realmente no responde a su pregunta, ya que no se ocupa de la $(\phi,\Gamma)$ -módulos intrínsecamente.