Comprensión conceptual del teorema de Gross-Zagier.

Question

El artículo de Gross-Zagier "Heegner points and derivatives of $L$ -series", es realmente computacional y difícil de arar. Parece inútil leerlo como tal y hay que buscar una comprensión más conceptual.

Los intentos más conceptuales que conozco son los siguientes:

$1$ . El trabajo de Kolyvagin sobre la conjetura Birch-Swinnerton-Dyer, en el que refuta parte de Gross-Zagier utilizando sistemas de Euler. El problema es que parte del Gross-Zagier original sigue siendo necesario para obtener los resultados de la conjetura BSD (si lo he entendido bien, por favor, indíqueme si me equivoco).

$2$ . El volumen de Darmon y Zhang publicado por MSRI, en el que intentan una $p$ -teoría de la adicción. De nuevo, esto es alejarse del caso analítico complejo original. Una vez más, corríjanme si me equivoco.

Así que me pregunto si alguien ha publicado una aproximación más conceptual al teorema complejo analítico de Gross-Zagier. Agradecería cualquier referencia.

Answer 1

Algunos comentarios, demasiado extensos para caber en la caja de comentarios:

(1) Hay una revisión bastante reciente de al menos algunas partes de la prueba en el libro "Heegner points and Rankin $L$ -series", MSRI Publ. 49. (Brian Conrad en particular, tiene un artículo en el que reelabora los argumentos de la teoría de la deformación).

(2) El teorema es un cálculo: se calcula la altura del punto de Heegner utilizando las alturas locales de Neron-Tate, y se relaciona la respuesta (una suma de las contribuciones de cada lugar) con una expresión correspondiente para la derivada.

(3) Es el trabajo de Kolyvagin el que demuestra que si el punto de Heegner es distinto de cero, entonces genera el grupo de Mordell-Weil (hasta índice finito); así que si quieres motivación para la verdad de Gross--Zagier, puedes pensar que es una consecuencia de BSD + Kolyvagin. (Aunque esto puede ser ahistórico).

(4) Históricamente, Birch fue quien calculó los puntos de Heegner en curvas elípticas, y descubrió que eran generadores del grupo Mordell--Weil (hasta índice finito) precisamente cuando el rango era uno. Esto animó mucho a Gross (como explicó en un momento dado cuando yo estaba en la escuela de posgrado), porque significaba que allí debe sea una relación entre la derivada en 1 y la altura del punto de Heegner, y sólo había que encontrarla.

(5) Las partes aritmético-geométricas de Gross--Zagier son maravillosas; no se me ocurriría en absoluto vano estudiarlas. No he estudiado las partes analíticas, pero sin duda son igualmente maravillosas.

(6) Se puede empezar con el artículo de Crelle de Gross--Zagier, que trata esencialmente del caso del nivel uno. Como la curva modular de nivel uno tiene género 0, la altura es necesariamente cero, y así se obtiene una fórmula muy bonita que relaciona la suma de las alturas locales finitas con la altura local arquimediana. Y se puede demostrar la misma fórmula de otra manera, utilizando un caso especial de los argumentos analíticos que en el entorno general calculan la derivada. El hecho de que la misma fórmula se obtenga de estas dos formas distintas es un caso especial de la fórmula general de Gross--Zagier; pero puede resultar más sencillo entender las dos vertientes y la comparación entre ellas en este escenario de nivel uno.

(7) Según tengo entendido, Kato no dice nada en el caso analítico de rango uno. Para BSD en este caso, uno necesita Gross--Zagier más Kolyvagin.

Answer 2

De hecho, hay una comprensión conceptual de esto a través de "incoherente Siegel-Weil Fórmula", cft S.Kudla `s papeles.Véase también la última sección de la reciente preimpresión de Gan-Gross-Prasad.

Answer 3

En mi actual (no muy profunda) comprensión, hay dos posibles maneras de hacer la prueba de la Gross-Zagier más conceptual.

La primera consiste en reconocer en cada término de la ecuación productos de términos locales que son funcionales lineales locales. Ahora bien, un famoso teorema de Saito y Tunnell establece que tales funcionales lineales viven en un espacio vectorial de dimensión 1. Así que hay proporcionales y el Gross-Zagier equivale a especificar el factor de proporcionalidad. Esto requiere una gran cantidad de teoría de la representación, pero creo que ahora este programa se ha completado. Utilizando la conjetura de Gross-Prasad en lugar de la de Saito-Tunnell, aparentemente GZ puede extenderse ampliamente.

La segunda es observar que el $p$ -de GZ es, de hecho, más fácil de demostrar (esto se debe a que $p$ -naturalmente factor a través del primer grupo de cohomología de Bloch-Kato). Conceptualmente, esto quizá no sea tan sorprendente porque los puntos de Heegner verifican las relaciones de distribución de un sistema de Euler, por lo que están naturalmente ligados a la $p$ -adic $L$ -función. Por lo tanto, para demostrar el teorema de Gross-Zagier, basta con relacionar el valor especial de la derivada de la función $p$ -adic $L$ -al valor de la derivada del complejo $L$ -función. Pero aquí está el problema: que yo sepa, demostrar que la derivada de la función $p$ -adic $L$ -la función interpola $p$ -adicalmente la derivada de la $L$ -es más o menos equivalente a demostrar que la función $p$ El emparejamiento altura-radical no es degenerado. Así que esto parece inútil.